מאמרים

14: גיאומטריה משודרת - מתמטיקה


14: גיאומטריה משודרת - מתמטיקה

14: גיאומטריה משודרת - מתמטיקה

גיאומטריה מודרנית - אביב 2008
פרופסור רוברט שרפלי
נפגש: יום שני 2: 00-3: 15 במכללת לקונטה 405

מידע על מדריכים
משרד: לקונטה 313 ד.
שעות עבודה: 13: 00-14: 00 יום שלישי, יום חמישי

  1. הערות הרצאה של גילברט (230 עמ ', 1.3 מגהבייט)
  2. קורס בגיאומטריות מודרניות מאת ג'ודית נ 'סדרברג, טקסטים לתואר ראשון בספרינגר במתמטיקה, 2005. [ISBN-0387-98972-2].
  3. ארבעת עמודי הגיאומטריה מאת ג'ון סטילוול, ספרינגר טקסטים לתואר ראשון במתמטיקה, 2005. [ISBN-13: 978-0387-25530-9].

שיעורי בית שהוקצו (10%), שלושה מבחנים (20% כל אחד) ובחינה סופית (30%).

סטודנטים לתארים מתקדמים יידרשו לכתוב עבודת קדנציה על נושא שעליו ניתנה משא ומתן עם המדריך, ועבודות הלימודים שלהם ידורגו בצורה קפדנית יותר.

    14 בינואר (יום שני)
    18 בינואר (יום שישי)
    14 בפברואר (חמישי)
    25 בפברואר (שני)
    9-16 במרץ (א'-א ')
    25 במרץ (יום שלישי)
    17 באפריל (חמישי)
    28 באפריל (יום שני)
    השיעורים מתחילים
    היום האחרון לנסיגה ללא עונש
    מבחן 1
    היום האחרון לנסיגה ללא ציון WF
    חופשת אביב - אין שיעורים
    מבחן 2
    מבחן 3
    השיעורים מסתיימים
    29 באפריל (יום שלישי)

עבודות שיעורי בית וחומרי קורס אחרים

קלוט את זה קישור למטלות שיעורי בית וחומרי קורס אחרים.


6 תשובות 6

זה עובד טוב כל עוד יש לך טרפז, והקצוות המקבילים שלו מיושרים לאחד הצירים המקומיים. אני ממליץ לשחק עם חבילת האחדות שלי.

לאחרונה הצלחתי להמציא פתרון כללי לבעיה זו לכל סוג של רבוע. החישובים ו- GLSL עשויים לעזור. יש הדגמה עובדת בג'אווה (שפועלת באנדרואיד), אך היא קומפקטית וקריאה וצריכה להיות ניידת בקלות לאחדות או ל- iOS: http://www.bitlush.com/posts/arbitrary-quadrilaterals-in-opengl-es- 2-0

אם מישהו עדיין מעוניין, הנה מימוש C # שלוקח מרובע המוגדר על ידי המסך עם כיוון השעון (x0, y0) (x1, y1). (x3, y3), פיקסל שרירותי ב- (x, y) ומחשב את u ו- v של אותו פיקסל. הוא נכתב במקור כדי להעביר מעבד מרובע שרירותי למרקם, אך קל דיו לפצל את האלגוריתם על פני צלליות מעבד, ורטקס ופיקסלים שהגבתי בהתאם בקוד.

טסלציה פותרת בעיה זו. חלוקת קודקוד מרובע משנה מוסיף רמזים לאינטרפולציה של פיקסלים.

הייתה לי שאלה דומה (https://gamedev.stackexchange.com/questions/174857/mapping-a-texture-to-a-2d-quadrilateral/174871), וב- gamedev הם הציעו להשתמש ב- Z koord דמיוני, אותו אני מחשב באמצעות קוד ה- C הבא, שנראה שהוא עובד באופן כללי (לא רק טרפז):

אני עושה את זה בתוכנה כדי להגדיל ולסובב ספריטים דו-ממדיים, ובאפליקציית OpenGL 3d תצטרך לעשות זאת בגוון פיקסל / פרגמנטים, אלא אם כן תוכל למפות את ה- az, bz, cz, dz האלו המדומים שלך. החלל תלת ממדי והשתמש בצינור הרגיל. DMGregory נתן קוד מדויק עבור הצלליות של OpenGL: https://gamedev.stackexchange.com/questions/148082/how-can-i-fix-zig-zagging-uv-mapping-artifacts-on-a-generated-mesh-that- מתחדד

תודה על תשובות, אך לאחר התנסות מצאתי פיתרון.

לשני משולשים משמאל יש uv (strq) לפי זה ושני משולשים מימין הם גרסה שונה של תיקון פרספקטיבה זה.

רק משולשים ימניים מעובדים באמצעות הצללה זו של glsl (משמאל צינור קבוע):


14: גיאומטריה משודרת - מתמטיקה

תחומי מחקר

תחומי העניין שלי הם בתיאוריית הייצוג (בייחוד באלגבות שרדניק, אצות זווית קוונטיות וטורואידיות, דשדוש באלגבות, אצות זווית קוונטיות מוסטות) והקשר שלה לגיאומטריה אלגברית (דרך רווחי לאומון, זנים של נקיג'ימה וענפי קולומב)

המחקר שלי נתמך על ידי מענקי NSF מס 'DMS-1502497 (שונה ל- DMS-1821185) ו- DMS-2001247 (שונה ל- DMS-2037602)

קורות חיים: כאן

תעסוקה והשכלה

עוזר פרופסור, אוניברסיטת פרדו, 2020 & # 8210 נוכח
עוזר פרופסור גיבס, אוניברסיטת ייל, 2017 & # 82102020
פרופסור עוזר למחקר, סימונס מרכז לגיאומטריה ופיזיקה, 2014 & # 82102017
דוקטורט, מתמטיקה, המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס, 2014
תואר שני, מתמטיקה, אוניברסיטת מוסקבה, 2009
תואר שני, מתמטיקה, האוניברסיטה העצמאית במוסקבה, 2009

פרסומים (arXiv)

  • מטריצות של שעווה מ יאנגיאנים המוסטים באופן דומיננטי ומאלגברות אפיניות קוונטיות (עם ר 'פרסק וו. פסטון)
    הוגש Preprint arXiv: 2001.04929 (54pp, עדכון אחרון בתאריך 14/01/2020) (arXiv)
  • דשדש מימוש אלגברה מסוג יאנגים סופר A וסופר-אלגברות אפיניות קוונטיות לכל נתוני הקרטאן
    מכתבים בפיזיקה מתמטית (2020), DOI: 10.1007 / s11005-020-01287-9, 29pp (כתב עת) (arXiv)
  • כפולות של צורות אינטגרליות של Lusztig ו- RTT של $ U_v (L mathfrak_ ן) $
    כתב העת לאלגברה טהורה ויישומית (2020), DOI: 10.1016 / j.jpaa.2020.106469, 14pp (journal) (arXiv)
  • אלגברות אפיניות קוונטיות מוסטות: צורות אינטגרליות בסוג A (עם נספחי מ 'פינקלברג משותפים עם A. Weekes)
    ארנולד יומן מתמטי 5 (2019), לא. 2, 197 & # 8210283 (כתב עת) (arXiv)
  • בסיסי PBWD ומערבבים מימוש אלגברה עבור $ U_v (L mathfrak_n), U_(L mathfrak_n), U_v (L mathfrak(m | n)) $ וצורותיהם האינטגרליות
    הוגש מראש PreX arXiv: 1808.09536 (31 עמ ', עדכון אחרון בתאריך 20/05/2019) (arXiv)
  • על בניית סיבוסטיאנוב של סריגי טודה (עם ר 'גונין)
    הודעות מחקר בינלאומיות במתמטיקה (2019), DOI: 10.1093 / imrn / rnz083, 61pp (כתב עת) (arXiv)
  • פרוסות כפולות, טודה רלטיביסטית ואלגבות זולות קוונטיות מוסטות (עם מ 'פינקלברג)
    ייצוגים ומסלולים אפסים של מערכות אלגבריות שקר (כרך מיוחד לכבוד יום הולדתו ה -75 של טוני ג'וזף), התקדמות במתמטיקה 330 (2019), 133 & # 8210304 (כתב עת) (arXiv)
  • הומומורפיזמים בין אלגברות יאנגיאניות טורניות קוונטיות שונות (עם מ 'ברשטיין)
    כתב העת לאלגברה טהורה ויישומית 223 (2019), לא. 2, 867 & # 8210899 (יומן) (arXiv)
  • מספר מימושים של מודולי Fock לטורואיד $ ddot_( מתפרק_ ן) $
    תיאוריית אלגברות וייצוג 22 (2019), לא. 1, 177 & # 8210209 (כתב עת) (arXiv)
  • גבולות קלאסיים של אלגברות יאנגיות טורניות וזרועות קוונטיות
    כתב העת לאלגברה טהורה ויישומית 221 (2017), לא. 10, 2633 & # 82102646 (כתב עת) (arXiv)
  • יאנגיאן הזיקה של $ mathfrak_1$ ביקר שוב
    התקדמות במתמטיקה 304 (2017), 583 & # 8210645 (כתב עת) (arXiv)
  • בתת-הסברות של $ U_q ( widehat < mathfrak> _ ן) $ באמצעות דשדוש אלגברות (עם ב 'פייגין)
    סלקטה מתמטיקה (סדרה חדשה) 22 (2016), לא. 2, 979 & # 82101011 (כתב עת) (arXiv)
  • אלגברות הקה אינסופיות של $ mathfrak_N $
    כתב העת לאלגברה טהורה ויישומית 219 (2015), לא. 6, 2046 & # 82102061 (כתב עת) (arXiv)
  • אלגברות שרדניק אינפיניטסמליות כאלגברות W (עם אני לוסב)
    קבוצות טרנספורמציה 19 (2014), לא. 2, 495 & # 8210526 (כתב עת) (arXiv)
  • ייצוגים של אלגברות שרדניק אינסופיות (עם פ. דינג)
    תיאוריית הייצוג (אלקטרונית) 17 (2013), 557 & # 8210583 (כתב עת) (arXiv)
  • תורת K המשווה של תוכניות הילברט באמצעות אלגברה מדשדשת (עם ב 'פייגין)
    כתב העת קיוטו למתמטיקה 51 (2011), לא. 4, 831 & # 8210854 (יומן) (arXiv) (מעודכן)
  • בסיסי גלפנד-צטלין קוונטיים ואלגברה טורואידית קוונטית באמצעות תורת K של מרחבי לאומון אפיניים.
    סלקטה מתמטיקה (סדרה חדשה) 16 (2010), לא. 2, 173 & # 8210200 (יומן) (errata) (arXiv) (עודכן)

חווית הוראה

  • סתיו 2019: מרצה למתמטיקה 120 (חשבון פונקציות של כמה משתנים) בדף האינטרנט של ייל
  • אביב 2019: מרצה למתמטיקה 754 (אלגברות שקר ואינסוף מימדי אינסופי) בדף האינטרנט של ייל
  • סתיו 2018: מרצה למתמטיקה 353 (מבוא לתורת הייצוג) בדף האינטרנט ייל
  • סתיו 2018: מרצה למתמטיקה 120 (חשבון פונקציות של כמה משתנים) בדף האינטרנט של ייל
  • אביב 2018: מרצה למתמטיקה 667 (נושאים בקבוצות קוונטיות ותורת הייצוג) בדף האינטרנט של ייל
  • סתיו 2017: מרצה למתמטיקה 120 (חשבון פונקציות של כמה משתנים) בדף האינטרנט של ייל
  • סתיו 2016: מדריך ראשי ל- MAT 118 (חשיבה מתמטית) בדף האינטרנט של SBU
  • סתיו 2015: מרצה ל- MAT 126 (חשבון B) ב- SBU
  • סתיו 2014: מנהיג המחלקה ל- MAT 303 (חשבון IV עם יישומים) ב- SBU
  • אביב 2014: עוזר הוראה למתמטיקה 18.100B (ניתוח אמיתי) בדף האינטרנט MIT
  • חורף 2014: מנטור בתכנית הקריאה המכוונת של MIT (תורת הייצוג)
  • סתיו 2012: מנהלת מדור למתמטיקה 18.02 (חשבון רב משתנים) בדף האינטרנט MIT
  • 2011 & # 82102013: דרדר לקורסי MIT 18.100B (ניתוח אמיתי), 18.125 (ניתוח אמיתי ופונקציונלי), 18.01 (חשבון), 18.782 (מבוא לגאומטריה אריתמטית), 18.705 (אלגברה קומוטטיבית) ו- 18.737 (קבוצות אלגבריות)

חונכות בתכנית MIT PRIMES

ליוויתי את Fengning Ding במהלך שנת 2011 & # 82102013 בתכנית MIT PRIMES. עם הפרויקט שלנו, Fengning זכה בפרס הרביעי בתחרות הלאומית של אינטל STS בארה"ב לשנת 2012 (פרס $ 40,000) והפך לחתן פרס עמית דוידסון לשנת 2012 ($ 50,000 $).

MIT PRIMES היא תכנית מחקר ללא תשלום לאחר הלימודים בתלמידי תיכון מאזור בוסטון. משתתפי התכנית עובדים עם חוקרי MIT על בעיות לא פתורות מלהיבות במתמטיקה, מדעי המחשב וביולוגיה חישובית.


תנאים מוקדמים

כדי לעקוב אחר שיעור זה תזדקק לבסיס טוב באלגברה קומוטטיבית, המקבילה למתמטיקה 250A ולחלקים של 250B. עם זאת, אסקור תוצאות שונות מאלגברה קומוטטיבית ככל שאנו זקוקים להן.

מועיל להכיר קצת את היסודות של טופולוגיה אלגברית וגיאומטריה דיפרנציאלית כמקור פרספקטיבה בנושא. לזנים אלגבריים מורכבים קלאסיים יש טופולוגיה אנליטית כמו גם טופולוגיית Zariski, והם גם זנים אנליטיים מורכבים או, במקרה החלק, סעיפים. עיקרון מניע חשוב בגיאומטריה האלגברית המודרנית היה לנסות לבנות אנלוגים לתכונות הנוספות הללו של זנים קלאסיים תוך שימוש בטכניקות אלגבריות גרידא, אשר ניתן ליישם בהקשרים אחרים, כמו למשל על זנים על פני שדה מאפיין. עמ '.


פרויקט הערימות

בחלק זה אנו דנים כאשר מורפיזם כמעט קומפקטי (אך לא בהכרח מופרד) סגור באופן אוניברסלי. ראשית אנו מוכיחים למה שתאפשר לנו לבדוק סגירות אוניברסלית לאחר שינוי בסיס שהוא מקומי של הצגת סופי.

למה 32.14.1. תן ל- $ f: X to S $ להיות מורפיזם כמעט קומפקטי של תוכניות. תן ל- $ g: T to S $ להיות מורפיזם של תוכניות. תן ל- $ t ב- T $ להיות נקודה ו- $ Z תת-קבוצה X_ T $ להיות תוכנית משנה סגורה כך ש- $ Z cap X_ t = emptyset $. אז קיימת שכונה פתוחה $ V תת קבוצה T $ של $ t $, תרשים קומוטטיבי

ותוכנית משנה סגורה $ Z ' קבוצת משנה X_$ כזה ש

המורפיזם $ b: T ' to S $ הוא מקומי של הצגת סופי,

עם $ t '= a (t) $ יש לנו $ Z' cap X_ = emptyset $, ו-

$ Z cap X_ V $ ממפה ל- $ Z '$ דרך המורפיזם $ X_ V ל- X_$.

יתר על כן, אנו יכולים להניח ש- $ V $ ו- $ T '$ הם זיקים.

הוכחה. תן ל- $ s = g (t) $. במהלך ההוכחה אנו עשויים להחליף את $ T $ בשכונה פתוחה של $ t $. לפיכך אנו עשויים גם להחליף $ S $ בשכונה פתוחה של $ s $. לפיכך אנו עשויים להניח כי $ T $ ו- $ S $ הם זיקים. אמור $ S = mathop < mathrm> (A) $, $ T = mathop < mathrm> (B) $, $ g $ ניתן על ידי מפת הטבעת $ A ל- B $, ו- $ t $ תואמים את האידיאלי העיקרי $ mathfrak q תת קבוצה B $.

מכיוון ש- $ X ל- S $ הוא כמעט קומפקטי ו- $ S $ הוא רגיש, אנו עשויים לכתוב $ X = bigcup _ U_ i $ כאיחוד סופי של זיקה נפתח. כתוב $ U_ i = mathop < mathrm> (C_ i) $. בפרט יש לנו $ X_ T = bigcup _ U_ = bigcup _ mathop < mathrm> (C_ i otimes _ A B) $. תן ל- $ I_ i תת-קבוצה C_ i otimes _ A B $ להיות האידיאל המתאים לתכנית המשנה הסגורה $ Z cap U_$. התנאי ש- $ Z cap X_ t = emptyset $ מסמל ש- $ I_ i $ מייצר את היחידה האידיאלית בזירה

מכיוון ש- $ I_ i (B setminus mathfrak q) ^ <-1> (C_ i otimes _ AB) = (B setminus mathfrak q) ^ <-1> I_ i $ זה אומר ש $ 1 = x_ i / g_ i $ לכמה $ x_ i ב- I_ i $ ו- $ g_ i ב- B $, $ g_ i not ב- mathfrak q $. לפיכך, ניקוי מכנים נוכל למצוא יחס של הצורה

עם $ x_ i ב- I_ i $, $ f_ in mathfrak q $, $ c_ ב- C_ i otimes _ A B $, ו- $ g_ i ב- B $, $ g_ i not in mathfrak q $. לאחר החלפת $ B $ ב- $ B_$, כלומר, לאחר החלפת $ T $ בשכונה קטנה יותר של $ t $, אנו עשויים להניח שהמשוואות נקראות

עם $ x_ i ב- I_ i $, $ f_ in mathfrak q $, $ c_ ב C_ i otimes _ A B $.

לסיום הוויכוח כתוב $ B $ כקולימיט של $ A $ -אלגברות $ B_ lambda $ המוצג בסדר גודל מעל סט מכוון $ Lambda $. עבור כל סט $ lambda $ $ mathfrak q_ lambda = (B_ lambda to B) ^ <-1> ( mathfrak q) $. עבור $ lambda in Lambda $ גדולים מספיק אנו יכולים למצוא

אלמנט $ x_ ב- C_ i otimes _ A B_ lambda $ אשר ממפה ל- $ x_ i $,

אלמנטים $ f_ in mathfrak q_מיפוי $ ל- $ f_$, ו

אלמנטים $ c_ ב- C_ i otimes _ מיפוי B_ lambda $ ל- $ c_$.

אחרי שהגדלנו את lambda $ עוד קצת את המשוואה

יחזיק. תקן $ lambda $ כזה והגדר $ T '= mathop < mathrm> (B_ lambda) $. ואז $ t ' ב- T' $ הוא הנקודה המתאימה לראש הממשלה $ mathfrak q_ lambda $. לסיום, תן ל- $ Z ' תת קבוצה X_$ להיות התמונה התיאורטית של התוכנית של $ Z to X_ T to X_$. כ- $ X_ T ל- X_$ הוא affine, אנחנו יכולים לחשב $ Z '$ על החלקים הפתוחים affine $ U_$ כתוכנית הסגורה המשויכת ל- $ mathop < mathrm> (C_ i otimes _ A B_ lambda to C_ i otimes _ A B / I_ i) $, ראה מורפיזמים, דוגמה 29.6.4. מכאן $ x_$ הוא האידיאלי המגדיר $ Z '$. כך המשוואה האחרונה שהוצגה מראה כי $ Z ' cap X_$ ריק. $ ריבוע $

למה 32.14.2. תן ל- $ f: X to S $ להיות מורפיזם כמעט קומפקטי של תוכניות. הדברים הבאים שווים

עבור כל מורפיזם $ S ' ל- S $ שהוא מקומי של תצוגה סופית הבסיס משנה $ X_ to S '$ סגור, ו-

הוכחה. ברור ש (1) מרמז על (2). הבה נוכיח כי (2) מרמז על (1). נניח ששינוי הבסיס $ X_ T ל- T $ אינו סגור עבור תוכנית כלשהי $ T $ מעל $ S $. לפי תוכניות, Lemma 26.19.8 פירוש הדבר שקיים התמחות כלשהי $ t_1 leadsto t $ ב- $ T $ ונקודה $ xi במיפוי X_ T $ ל- $ t_1 $ כך ש $ xi $ לא יתמחה ב- נקודה בסיבים מעל $ t $. הגדר $ Z = overline < < xi >> קבוצת משנה X_ T $. ואז $ Z cap X_ t = emptyset $. החל את Lemma 32.14.1. אנו מוצאים שכונה פתוחה $ V תת קבוצה T $ של $ t $, תרשים קומוטטיבי

ותוכנית משנה סגורה $ Z ' קבוצת משנה X_$ כזה ש

המורפיזם $ b: T ' to S $ הוא מקומי של הצגת סופי,

עם $ t '= a (t) $ יש לנו $ Z' cap X_ = emptyset $, ו-

$ Z cap X_ V $ ממפה ל- $ Z '$ דרך המורפיזם $ X_ V ל- X_$.

ברור שזה אומר ש- $ X_ to T '$ ממפה את קבוצת המשנה הסגורה $ Z' $ לתת קבוצה של $ T '$ המכילה $ a (t_1) $ אך לא $ t' = a (t) $. מכיוון ש- $ a (t_1) leadto a (t) = t '$ אנו מסיקים ש- $ X_ to T '$ אינו סגור. לפיכך הראינו ש- $ X ל- S $ לא סגור באופן אוניברסלי מרמז ש- $ X_ to T '$ אינו סגור עבור $ T' to S $ שהוא מקומי של מצגת סופית. לפי מילים (2) מרמז (1).

של תוכניות שבהן החצים האופקיים הם טבילה סגורה מקומית. מכאן שכל תת-קבוצה סגורה $ Z תת-קבוצה X_ T $ יכולה להיכתב כ- $ X_ T cap Z '$ עבור קבוצת משנה סגורה $ Z' תת-קבוצה mathbf ^ n פעמים X $. ואז $ f_ T (Z) = T cap f_ n (Z ') $ ואנחנו רואים שאם $ f_ n $ סגור, אז גם $ f_ T $ סגור. $ ריבוע $

למה 32.14.3. תן $ S $ להיות תוכנית. תן ל- $ f: X to S $ להיות מורפיזם מופרד מסוג סופי. הדברים הבאים שווים:

עבור כל מורפיזם $ S ' ל- S $ שהוא מקומי מהסוג הסופי, הבסיס משנה $ X_ to S '$ סגור.

הוכחה ראשונה. לאור העובדה שמורפיזם תקין הוא אותו דבר כמו סוג מופרד, סופי ומורפיזם סגור אוניברסלי, הלמה הזו היא מקרה מיוחד של לממה 32.14.2. $ מרובע $

הוכחה שנייה. ברור (1) מרמז (2), ו- (2) מרמז (3), אז אנחנו רק צריכים להראות (3) מרמז (1). ראשית אנו מקטינים את המקרה כאשר $ S $ הוא זול. נניח ש (3) מרמז על (1) כאשר הבסיס הוא זיק. עכשיו בואו $ f: X to S $ להיות מורפיזם מופרד מסוג סופי. היותו תקין הוא מקומי בבסיס (ראה מורפיזמים, למה 29.41.3), כך שאם $ S = bigcup _ alpha S_ alpha $ הוא כיסוי פתוח, ואם אנו מציינים $ X_ alpha: = f ^ -1> (S_ alpha) $, אז זה מספיק כדי להראות ש $ f | _: X_ alpha ל- S_ alpha $ מתאים לכל $ alpha $. מכיוון ש- $ S_ alpha $ הוא affine, אם המפה $ f | _$ מספק (3), ואז הוא יספק (1) בהנחה, ויהיה תקין. כדי לסיים את ההפחתה למקרה $ S $ הוא זיק, עלינו להראות שאם $ f: X ל- S $ מופרד מהסוג הסופי המספק (3), אז $ f | _ : X_ alpha ל- S_ alpha $ מופרד מהסוג הסופי המספק (3). הפרדה והסוג הסופי ברורים. כדי לראות (3), שים לב ש $ mathbf ^ n times X_ alpha $ הוא התמונה המקדימה הפתוחה של $ mathbf ^ n times S_ alpha $ מתחת למפה $ 1 פעמים f $. תקן קבוצה סגורה $ Z תת קבוצה mathbf A ^ n פעמים X_ alpha $. תן $ bar Z $ לסמן את הסגירה של $ Z $ ב- $ mathbf ^ n פעמים X $. ואז מסיבות טופולוגיות,

מכאן ש- $ 1 פעמים f (Z) $ נסגר, והקטנו את ההוכחה של (3) $ Rightarrow $ (1) למקרה הקשור.

נניח $ S $ affine ו- $ f: X ל- S $ מופרדים מהסוג הסופי. אנו יכולים ליישם את הלמה 32.12.1 של צ'או כדי להשיג $ pi: X ' ל- X $ הנחיות ראויות ו- $ X' to mathbf

^ n_ S $ טבילה. אם $ X $ תקין מעל $ S $, אז $ X ' ל- S $ תקין (מורפיזמים, למה 29.41.4). מאז $ mathbf

^ n_ S ל- S $ מופרדים, אנו מסיקים ש- X X to mathbf

^ n_ S $ תקין (מורפיזמים, לממה 29.41.7) ומכאן טבילה סגורה (סכמות, לממה 26.10.4). לעומת זאת, נניח $ X ' to mathbf

^ n_ S $ הוא טבילה סגורה. שקול את התרשים:

כל המפות תקינות מראש, למעט $ X עד S $. מכאן אנו מסיקים כי $ X ל- S $ תקין על ידי מורפיזמים, למה 29.41.9. לכן הראינו ש- $ X ל- S $ תקין אם ורק אם $ X ' to mathbf

^ n_ S $ הוא טבילה סגורה.

נניח ש- $ S $ הוא affine ו- (3) אוחז, ותן ל- $ n, X ', pi $ להיות כנ"ל. מכיוון שהוא מורפיזם סגור הוא מקומי בבסיס, המפה $ X times mathbf

^ n ל- S times mathbf

^ n $ סגור מאחר ש- (3) $ X times mathbf ^ n to S times mathbf ^ n $ סגור ומכיוון שהשטח ההשלכה מכוסה על ידי עותקים של $ n $ -מרחב, ראה קונסטרוקציות, Lemma 27.13.3. לפי מורפיזמים, למה 29.41.5 המורפיזם

הוא תקין. מאז $ mathbf

^ n $ מופרד, ההקרנה

יופרדו מכיוון שזה רק שינוי בסיסי של מורפיזם מופרד. לכן, המפה $ X ' עד X' פעמים _ S mathbf

^ n_ S $ תקין, מכיוון שהוא קטע למפה מופרדת (ראה סכמות, לממה 26.21.11). חיבור המורפיזמים הללו

[X ' עד X' פעמים _ S mathbf

^ n_ S עד X פעמים _ S mathbf

^ n_ S = X times mathbf

^ n ל- S times mathbf

^ n = mathbf

^ n_ S ]

אנו מגלים כי הטבילה $ X ' to mathbf

^ n_ S $ סגור, ומכאן טבילה סגורה. $ ריבוע $


משימות

ערכת בעיות 1: קובץ pdf, קובץ tex, אמור להגיע ל -5 בפברואר
ערכת בעיות 2: קובץ pdf, קובץ טקס, אמור להגיע ל 12 בפברואר
ערכת בעיות 3: קובץ pdf, קובץ טקס, יגיע ליום 19 בפברואר
קבוצת הבעיות 4: קובץ pdf, קובץ טקס, אמור להגיע ל 26 בפברואר
ערכת בעיות 5: קובץ pdf, קובץ טקס, אמור להגיע ל -4 במרץ
ערכת בעיות 6: קובץ pdf, קובץ טקס, אמור להגיע ל -11 במרץ
ערכת בעיות 7: קובץ pdf, קובץ טקס, יגיע ביום שישי, 27 במרץ
ערכת בעיות 8: קובץ pdf, קובץ tex, יגיע ביום שישי, 3 באפריל
ערכת בעיות 9: קובץ pdf, קובץ טקס, יגיע ביום שישי, 10 באפריל
ערכת בעיות 10: קובץ pdf, קובץ טקס, יגיע ביום שישי, 17 באפריל
ערכת הבעיה 11: קובץ pdf, קובץ tex, יגיע ביום רביעי, 29 באפריל


14: גיאומטריה משודרת - מתמטיקה

אימייל: [email protected]

כינויי: הוא / אותו / שלו

קַמפּוּס מקום מכשיר טלפון שעה (ות
באינטרנט תקריב בתיאום מראש
מנהטן אולם וורן וויבר 522 +1 212 998 3185
ברוקלין 2 Metrotech 864 +1 718 997 3540

הוֹרָאָה
  • אביב 2021
    • MATH-UA 377 גיאומטריה דיפרנציאלית
    • MATH-UA 123 סעיף 7 חשבון III
    • MATH-UA 377 גיאומטריה דיפרנציאלית
    • MATH-UA 123 סעיף 2 חשבון III
    • MATH-UA 224 ניתוח וקטורי
    • MATH-UA 123 חשבון III
    • MATH-GA 2360 גיאומטריה דיפרנציאלית II
    • MA-UY 1002 אמנות המתמטיקה
    • MA-UY 2114 חשבון רב משתני
    מחקר

    אני עובד עם ארווין לוטוואק וגויונג ג'אנג על אי-שוויון גיאומטרי ואנליטי שגרתי ויניארי. בעבר עבדתי על מערכות קבועות יתר של PDE והתכנסות ומשפטים קורסים עבור סעפות רימניאן.

    פרופילים אקדמיים

    מתמטיקה (דורש מנוי באוניברסיטה או מנוי אישי)

    היסטוריה מקצועית
    • 2017 & mdashpresent: פרופסור למתמטיקה, מכון קוראנט למדעי המתמטיקה של ניו יורק
    • 2015 & mdash2017: פרופסור למתמטיקה, בית הספר להנדסה בניו יורק
    • 2014 & mdash2015: פרופסור למתמטיקה, בית הספר להנדסה פוליטכני של ניו יורק
    • 2008 & mdash2014: פרופסור למתמטיקה, המכון הפוליטכני של אוניברסיטת ניו יורק
    • 1993 & mdash2008: פרופסור למתמטיקה, האוניברסיטה הפוליטכנית
    • 1996 & mdash1997: סמנכ"ל פיתוח אקדמי, האוניברסיטה הפוליטכנית
    • 1993 & mdash1995: ראש המחלקה למתמטיקה, האוניברסיטה הפוליטכנית
    • 1991 & mdash1993: פרופסור חבר, האוניברסיטה הפוליטכנית
    • 1989 & mdash1991: פרופסור חבר אורח, אוניברסיטת קולומביה
    • 1988 & mdash1990: פרופסור חבר, אוניברסיטת רייס
    • 1985 & mdash1988: עוזר מרצה, אוניברסיטת רייס
    • 1983 & mdash1984: עמית פוסט-דוקטורט ב- NSF, מכון קוראנט למדעי המתמטיקה של ניו יורק
    • 1983: דוקטורט במתמטיקה, אוניברסיטת הרוורד
    • 1979: תואר ראשון במתמטיקה ופיזיקה, אוניברסיטת פנסילבניה
    ניירות סקר
    • ד. יאנג, הגדל גיאומטריה אינטגרלית מנקודת מבט מובחנת,מדריך לניתוח גיאומטרי כרך א '. II, העיתונות הבינלאומית, 2010.
    • ג'יי לופטין, X. J. Wang, D. Yang, עבודתם של צ'נג ויאו על משוואת Monge-Amp & egravere וגיאומטריה affine,גיאומטריה וניתוח (כרך א '), עיתונות להשכלה גבוהה ועיתונות בינלאומית, 2010.
    • ד. יאנג, על העבודה וההשפעה המתמטית של וילהלם בלשקה על ס. ס. צ'רן (גרסה סינית).
    מאמרים נבחרים בכתבי-עת

    הערה בנושאי זכויות יוצרים: חומר זה מוצג כדי להבטיח הפצה בזמן של עבודות מדעיות וטכניות. זכויות היוצרים וכל הזכויות בה נשמרים על ידי מחברים או על ידי בעלי זכויות יוצרים אחרים. כל מי שמעתיק מידע זה צפוי לעמוד בתנאים ובאילוצים המופעלים בזכויות יוצרים של כל מחבר. ברוב המקרים, לא ניתן לפרסם יצירות אלה ללא אישור מפורש של בעלי זכויות היוצרים.


    ניתן למצוא תרגילי תרגול בכתובת http://invpy.com/hackingpractice14C .

    בצופן הקיסר, הצפנה ופענוח של סמלים כללו המרה למספרים, הוספה או חיסור של המפתח, ואז המרת המספר החדש לסמל.

    מה אם במקום להוסיף את המפתח לצורך ההצפנה, נשתמש בכפל? תהיה נושא "עוטף", אך מפעיל המודרונים יפתור זאת. לדוגמא, נשתמש במערכת הסמלים של אותיות גדולות בלבד ובמקש 7. להלן רשימת האותיות ומספריהן:

    כדי למצוא למה צופן הסמל F עם מפתח 7, הכפל את מספרו (5) ב- 7 ו- mod ב- 26 (כדי להתמודד עם ה"עטיפה "עם ערכת הסמלים שלנו 26). ואז השתמש בסמל של המספר הזה. (5 × 7) mod 26 = 9, ו- 9 הוא המספר של הסמל J. אז F מצפין ל- J בצופן הכפל עם מפתח 7. בצע את אותו הדבר עם כל האותיות:

    לוח 14-1. הצפנת כל אות עם הצופן הכפול עם מפתח 7.

    בסופו של דבר אתה ממפה זה למפתח 7: כדי להצפין אתה מחליף את האות העליונה באות שמתחתיה, ולהיפך לפענוח:

    לא ייקח הרבה זמן עד שתוקף יתחזק בכוח דרך 7 המקשים הראשונים. אבל הדבר הטוב בצופן הכפל הוא שהוא יכול לעבוד עם מקשים גדולים מאוד, כמו 8,953,851 (שיש בו את האותיות של מפת האלף-בית לאותיות AXUROLIFCZWTQNKHEBYVSPMJGD). ייקח די הרבה זמן עד שהמחשב יכריח כמעט תשעה מיליון מקשים.


    14: גיאומטריה משודרת - מתמטיקה

    לדוגמא, נניח שרצינו להצפין את הודעת הטקסט הפשוט "HELLO" עם הפונקציה $ f (x) = 3x + 7 $.

    1. "HELLO" יהפוך לראשונה לרצף המספרים 7, 4, 11, 11, 14.
    2. מספרים אלה מוזנים ל- $ f (x) $ אחד בכל פעם כדי לייצר את הרצף 2, 19, 14, 14, 23.
    3. לבסוף, אנו מפרשים את המספרים שהתקבלו שוב כאותיות לייצור הטקסט המקודד "CTOOX".

    כעת, נניח שרטטת את הודעת הצופן הזו "CTOOX", ולא ידעת מה ההודעה המקורית, אלא רצית לגלות אותה.

    נניח שאתה מנחש f ('L') = 'O' ו- f ('E') = 'T'. ניחושים כאלה יכולים להגיע ממגוון מקורות, כמו למשל ניתוח תדירות האותיות או זוגות האות מסוימים או מחלק ידוע או מנחש של ההודעה המקורית (אשר נקרא עריסה).

    בהמשך לדוגמא, אם נתרגם את הניחושים שלנו הכוללים 'L', 'O', 'E' ו- 'T' למספרים שלמים שוב באמצעות A = 0, B = 1,. Z = 25, אז יש לנו
    $ f (11) = 14 $ ו- $ f (4) = 19 $. זה אומר לך:
    $ להתחיל
    11a + b & amp equiv & amp 14 pmod <26>
    4a + b & amp equiv & amp 19 pmod <26>
    סוֹף$

    בטיפול בקונגרואנציות שלא כמו שתי משוואות בשני לא ידועים, אנו יכולים לחסל את המשתנה $ b $ על ידי חיסור הקונגרואנס השני מהראשון. זה מניב:

    בדוגמה ספציפית זו, אנו יכולים לפתור תמורת $ דולר על ידי חלוקת שני הצדדים ב- $ 7 $ מכיוון שהוא יחסית ראשי ל- $ 26 ו- $ 7 אמצע 21 $.

    שימו לב, אם המקדם ב- $ a $ לא היה מחלק 21 באופן שווה, עדיין היינו יכולים לפתור א על ידי מציאה ראשונה של ההפוך הכפול, איקס, מתוך 7 (mod 26) על ידי פתרון
    $ 7x equiv 1 pmod <26> $

    במידת הצורך נוכל להעסיק את האלגוריתם האוקלידי לשם כך.

    ואז, אם נכפיל את שני הצדדים של ההתאמה הכוללת $ a $ בהפוך מכפל זה, אנו שוב חושפים את הערך של $ a $.

    נחזור לדוגמא שלפנינו, מחלק את שני הצדדים של $ 7a equiv 21 pmod <26> $ ב- $ 7 $ תשואות

    עכשיו שיש לנו את הערך של $ a $, למצוא את הערך של $ b $ זה טריוויאלי. אנו פשוט מחברים $ a = 3 $ בחזרה לאחת מהקבוצות הכוללות $ b $. לדוגמא, באמצעות $ 11a + b equiv 14 pmod <26> $, אנו מוצאים