מאמרים

3.3: פתרון משוואות טריגונומטריות


מטרות למידה

  • השתמש בזהויות היסודיות לפתרון משוואות טריגונומטריות.
  • ביטוי ביטויים טריגונומטריים בצורה הפשוטה ביותר.
  • פתר משוואות טריגונומטריות באמצעות פקטורינג.
  • פתר משוואות טריגונומטריות באמצעות הנוסחה הרביעית.

תאלס ממילטוס (625–547 לפני הספירה) ידוע כמייסד הגיאומטריה. האגדה היא שהוא חישב את גובה הפירמידה הגדולה של גיזה במצרים באמצעות התיאוריה של משולשים דומים, אותו פיתח על ידי מדידת צל צלליו. בהתבסס על פרופורציות, יש לתיאוריה זו יישומים במספר תחומים, כולל גאומטריה פרקטאלית, הנדסה וארכיטקטורה. לעתים קרובות, זווית הגובה וזווית הדיכאון נמצאים באמצעות משולשים דומים.

בחלקים קודמים של פרק זה בחנו זהויות טריגונומטריות. זהויות נכונות לכל הערכים בתחום המשתנה. בחלק זה, אנו מתחילים במחקר שלנו על משוואות טריגונומטריות כדי לחקור תרחישים בעולם האמיתי, כגון מציאת ממדי הפירמידות.

פתרון משוואות טריגונומטריות לינאריות בסינוס ובקוסינוס

משוואות טריגונומטריות הן, כפי שהשם מרמז, משוואות הכוללות פונקציות טריגונומטריות. דומים במובנים רבים לפתרון משוואות פולינום או משוואות רציונליות, רק ערכים ספציפיים של המשתנה יהיו פתרונות, אם יש בכלל פתרונות. לעתים קרובות נפתור משוואה טריגונומטרית במרווח מוגדר. עם זאת, באותה התדירות, נתבקש למצוא את כל הפתרונות האפשריים, וכפי שתפקודים טריגונומטריים הם תקופתיים, הפתרונות חוזרים על עצמם בכל תקופה. במילים אחרות, למשוואות הטריגונומטריות עשויות להיות מספר אינסופי של פתרונות. בנוסף, כמו משוואות רציונליות, יש להתחשב בתחום הפונקציה לפני שנניח שכל פתרון תקף. ה פרק זמן הן של פונקציית הסינוס והן של פונקציית הקוסינוס היא (2 pi ). במילים אחרות, כל יחידות (2 pi ), ה- y-ערכים חוזרים. אם עלינו למצוא את כל הפתרונות האפשריים, עלינו להוסיף (2 pi k ), כאשר (k ) הוא מספר שלם, לפיתרון הראשוני. זכור את הכלל שנותן את הפורמט לאמירת כל הפתרונות האפשריים לפונקציה בה התקופה היא (2 pi ):

[ sin theta = sin ( theta pm 2k pi) ]

ישנם כללים דומים לציון כל הפתרונות האפשריים לפונקציות הטריגונומטריות האחרות. פתרון משוואות טריגונומטריות דורש אותן טכניקות כמו פתרון משוואות אלגבריות. אנו קוראים את המשוואה משמאל לימין, אופקית, כמו משפט. אנו מחפשים דפוסים ידועים, מקבלים גורם, מוצאים מכנים משותפים ומחליפים ביטויים מסוימים במשתנה כדי להפוך את הפתרון לתהליך פשוט יותר. עם זאת, עם משוואות טריגונומטריות, יש לנו גם את היתרון להשתמש בזהויות שפיתחנו בסעיפים הקודמים.

דוגמא ( PageIndex {1A} ): פתרון משוואה טריגונומטרית לינארית הכוללת את פונקציית הקוסינוס

מצא את כל הפתרונות המדויקים האפשריים עבור המשוואה ( cos theta = dfrac {1} {2} ).

פִּתָרוֹן

ממעגל היחידה אנו יודעים זאת

[ התחל {align *} cos theta & = dfrac {1} {2} [4pt] theta & = dfrac { pi} {3}, space dfrac {5 pi} {3} end {align *} ]

אלה הפתרונות במרווח ([0,2 pi] ). כל הפתרונות האפשריים ניתנים על ידי

[ theta = dfrac { pi} {3} pm 2k pi quad text {and} quad theta = dfrac {5 pi} {3} pm 2k pi nonumber ]

כאשר (k ) הוא מספר שלם.

דוגמא ( PageIndex {1B} ): פתרון משוואה לינארית הכוללת את פונקציית סינוס

מצא את כל הפתרונות המדויקים האפשריים למשוואה ( sin t = dfrac {1} {2} ).

פִּתָרוֹן

פתרון לכל הערכים האפשריים של (t ) פירושו שהפתרונות כוללים זוויות מעבר לתקופה של (2 pi ). מהקטע בנושא זהויות סכום והבדל, אנו יכולים לראות שהפתרונות הם (t = dfrac { pi} {6} ) ו- (t = dfrac {5 pi} {6} ). אך הבעיה היא לבקש את כל הערכים האפשריים הפותרים את המשוואה. לכן התשובה היא

[t = dfrac { pi} {6} pm 2 pi k quad text {and} quad t = dfrac {5 pi} {6} pm 2 pi k nonumber ]

כאשר (k ) הוא מספר שלם.

איך: בהינתן משוואה טריגונומטרית, לפתור באמצעות אלגברה

  1. חפש תבנית המרמזת על מאפיין אלגברי, כגון הפרש הריבועים או הזדמנות פקטורינג.
  2. החלף את הביטוי הטריגונומטרי במשתנה יחיד, כגון (x ) או (u ).
  3. פתור את המשוואה באותה הדרך בה תיפתר משוואה אלגברית.
  4. החלף את הביטוי הטריגונומטרי למשתנה בביטויים המתקבלים.
  5. לפתור את הזווית.

דוגמא ( PageIndex {2} ): פתר את המשוואה הטריגונומטרית הליניארית

פתור את המשוואה בדיוק: (2 cos theta − 3 = −5 ), (0 ≤ theta <2 pi ).

פִּתָרוֹן

השתמש בטכניקות אלגבריות כדי לפתור את המשוואה.

[ start {align *} 2 cos theta-3 & = -5 2 cos theta & = -2 cos theta & = -1 theta & = pi end {align *} ]

תרגיל ( PageIndex {1} )

פתור בדיוק את המשוואה הליניארית הבאה במרווח ([0,2 pi) ): (2 sin x + 1 = 0 ).

תשובה

(x = dfrac {7 pi} {6}, space dfrac {11 pi} {6} )

פתרון משוואות הכוללות פונקציה טריגונומטרית אחת

כאשר אנו מקבלים משוואות הכוללות רק אחת מששת הפונקציות הטריגונומטריות, הפתרונות שלהן כוללים שימוש בטכניקות אלגבריות ובמעגל היחידה (ראה [קישור]). עלינו לבצע מספר שיקולים כאשר המשוואה כוללת פונקציות טריגונומטריות שאינן סינוס וקוסינוס. יש להתייחס לבעיות הקשורות בהדדיות של הפונקציות הטריגונומטריות העיקריות מנקודת מבט אלגברית. במילים אחרות, נכתוב את הפונקציה ההדדית ונפתור את הזוויות באמצעות הפונקציה. כמו כן, משוואה הכוללת את פונקציית המשיק שונה במקצת מזו המכילה פונקציה סינוסית או קוסינוס. ראשית, כידוע, תקופת המשיק היא ( pi ), ולא (2 pi ). יתר על כן, תחום המשיק הוא כל המספרים האמיתיים למעט מכפילים שלמים מוזרים של ( dfrac { pi} {2} ), אלא אם כן, כמובן, בעיה מציבה מגבלות משלה על התחום.

דוגמה ( PageIndex {3A} ): פתרון משוואה טריגנומטרית הכוללת סינוס

פתור את הבעיה בדיוק: (2 { sin} ^ 2 תטא − 1 = 0 ), (0≤ תטא <2 pi ).

פִּתָרוֹן

מכיוון שלא מתקבלת בקלות בעיה זו, נפתור באמצעות מאפיין השורש הריבועי. ראשית, אנו משתמשים באלגברה כדי לבודד ( sin theta ). ואז נמצא את הזוויות.

[ התחל {יישר *}
2 { sin} ^ 2 theta-1 & = 0
2 { sin} ^ 2 תטא & = 1
{ sin} ^ 2 theta & = dfrac {1} {2}
sqrt {{ sin} ^ 2 theta} & = pm sqrt { dfrac {1} {2}}
sin theta & = pm dfrac {1} { sqrt {2}}
& = pm dfrac { sqrt {2}} {2}
theta & = dfrac { pi} {4}, space dfrac {3 pi} {4}, space dfrac {5 pi} {4}, space dfrac {7 pi} {4 }
end {align *} ]

אָנָלִיזָה

בתור ( sin theta = - dfrac {1} {2} ), שימו לב שכל ארבעת הפתרונות נמצאים ברביע השלישי והרביעי.

דוגמה ( PageIndex {3B} ): פתרון משוואה טריגונומטרית הכוללת קוסנט

פתור את המשוואה הבאה בדיוק: ( csc theta = −2 ), (0≤ theta <4 pi ).

פִּתָרוֹן

אנו רוצים את כל הערכים של ( theta ) עבורם ( csc theta = −2 ) לאורך המרווח (0≤ theta <4 pi ).

[ begin {align *} csc theta & = -2 dfrac {1} { sin theta} & = -2 sin theta & = - dfrac {1} {2} theta & = dfrac {7 pi} {6}, space dfrac {11 pi} {6}, space dfrac {19 pi} {6}, space dfrac {23 pi} { 6} end {align *} ]

דוגמא ( PageIndex {3C} ): פתרון משוואה הכוללת משיק

פתור את המשוואה בדיוק: ( tan left ( theta− dfrac { pi} {2} right) = 1 ), (0≤ theta <2 pi ).

פִּתָרוֹן

נזכיר שלפונקציה המשיקה יש תקופה של ( pi ). במרווח ([0, pi) ) ובזווית ( dfrac { pi} {4} ), למשיק יש ערך (1 ). עם זאת, הזווית הרצויה היא ( left ( theta− dfrac { pi} {2} right) ). לפיכך, אם ( tan left ( dfrac { pi} {4} right) = 1 ), אז

[ start {align *} theta- dfrac { pi} {2} & = dfrac { pi} {4} theta & = dfrac {3 pi} {4} pm k pi end {align *} ]

לאורך המרווח ([0,2 pi) ), יש לנו שני פתרונות:

( theta = dfrac {3 pi} {4} ) ו- ( theta = dfrac {3 pi} {4} + pi = dfrac {7 pi} {4} )

תרגיל ( PageIndex {2} )

מצא את כל הפתרונות עבור ( tan x = sqrt {3} ).

תשובה

( dfrac { pi} {3} pm pi k )

דוגמא ( PageIndex {4} ): זהה את כל הפתרונות למשוואה הכוללת משיק

זהה את כל הפתרונות המדויקים למשוואה (2 ( tan x + 3) = 5 + tan x ), (0≤x <2 pi ).

פִּתָרוֹן

אנו יכולים לפתור משוואה זו באמצעות אלגברה בלבד. בידוד את הביטוי ( tan x ) בצד שמאל של סימן השווה.

במעגל היחידה יש ​​שתי זוויות בעלות ערך משיק של (- 1 ): ( theta = dfrac {3 pi} {4} ) ו- ( theta = dfrac {7 pi } {4} ).

לפתור משוואות טריגונומטריות באמצעות מחשבון

לא ניתן לפתור את כל הפונקציות באמצעות מעגל היחידה בלבד. כאשר עלינו לפתור משוואה הכוללת זווית שאינה אחת הזוויות המיוחדות, נצטרך להשתמש במחשבון. וודא שהוא מוגדר למצב המתאים, במעלות או ברדיאנים, בהתאם לקריטריונים של הבעיה הנתונה.

דוגמה ( PageIndex {5A} ): שימוש במחשבון לפתרון משוואה טריגונומטרית הכוללת סינוס

השתמש במחשבון כדי לפתור את המשוואה ( sin theta = 0.8 ), כאשר ( theta ) נמצאת ברדיאנים.

פִּתָרוֹן

ודא שהמצב מוגדר לרדיאנים. כדי למצוא ( theta ), השתמש בפונקציית הסינוס ההפוכה. ברוב המחשבונים תצטרך לדחוף את ה- 2ND ואז לחצן SIN כדי להעלות את הפונקציה ({ sin} ^ {- 1} ). מה שמוצג על המסך הוא ({ sin} ^ {- 1} ). המחשבון מוכן לקלט בסוגריים. לבעיה זו, אנו מזינים ({ sin} ^ {- 1} (0.8) ) ולחץ על ENTER. לפיכך, לארבע עשרוניות,

({ sin} ^ {- 1} (0.8) .90.9273 )

הפיתרון הוא

( theta≈0.9273 pm 2 pi k )

מדידת הזווית במעלות היא

[ התחל {align *} theta & כ 53.1 ^ { circ} theta & בערך 180 ^ { circ} -53.1 ^ { circ} & כ 126.9 ^ { circ} end {align *} ]

אָנָלִיזָה

שים לב שמחשבון יחזיר זווית רק ברביעים I או IV עבור פונקציית הסינוס מכיוון שזה הטווח של הסינוס ההופכי. הזווית השנייה מתקבלת באמצעות ( pi− theta ).

דוגמא ( PageIndex {5B} ): שימוש במחשבון לפתרון משוואה טריגונומטרית הכוללת שניות

השתמש במחשבון כדי לפתור את המשוואה ( sec θ = −4, ) שנותנת את התשובה שלך ברדיאנים.

פִּתָרוֹן

אנחנו יכולים להתחיל באלגברה.

[ start {align *} sec theta & = -4 dfrac {1} { cos theta} & = -4 cos theta & = - dfrac {1} {4} end {align *} ]

בדוק שהמצב נמצא ברדיאנים. כעת השתמש בפונקציה הקוסינוס ההפוך

[ begin {align *} { cos} ^ {- 1} left (- dfrac {1} {4} right) & בערך 1.8235 תטא & בערך 1.8235 + 2 pi k end {align *} ]

מכיוון ש ( dfrac { pi} {2} ≈1.57 ) ו- ( pi≈3.14 ), (1.8235 ) נמצא בין שני המספרים הללו, ולכן ( theta≈1.8235 ) נמצא ברבע השני . קוסינוס הוא גם שלילי ברבע השלישי. שים לב שמחשבון יחזיר רק זווית ברבעים I או II עבור פונקציית הקוסינוס, מכיוון שזה הטווח של הקוסינוס ההפוך. ראה איור ( PageIndex {2} ).

לכן, עלינו גם למצוא את מדד הזווית ברבע השלישי. ברבע השלישי זווית הייחוס היא ( theta '≈ pi - 1.8235≈1.3181 ). הפיתרון האחר ברבע השלישי הוא ( theta '≈ pi + 1.3181≈4.4597 ).

הפתרונות הם ( theta≈1.8235 pm 2 pi k ) ו- ( theta≈4.4597 pm 2 pi k ).

תרגיל ( PageIndex {3} )

לפתור ( cos theta = −0.2 ).

תשובה

( theta≈1.7722 pm 2 pi k ) ו- ( theta≈4.5110 pm 2 pi k )

פתרון משוואות טריגונומטריות בצורה ריבועית

פתרון א משוואה ריבועית יכול להיות יותר מסובך, אך שוב אנו יכולים להשתמש באלגברה כפי שהיינו עושים בכל משוואה ריבועית. התבונן בתבנית המשוואה. האם במשוואה יש יותר מפונקציה טריגונומטרית אחת, או שיש רק אחת? איזו פונקציה טריגונומטרית בריבוע? אם רק פונקציה אחת מיוצגת ואחד המונחים בריבוע, חשוב על הצורה הסטנדרטית של ריבוע. החלף את הפונקציה הטריגונומטרית במשתנה כגון (x ) או (u ). אם החלפה גורמת למשוואה להיראות כמו משוואה ריבועית, נוכל להשתמש באותן שיטות לפתרון ריבועים לפתרון המשוואות הטריגונומטריות.

דוגמה ( PageIndex {6A} ): פתרון משוואה טריגונומטרית בצורה ריבועית

פתור את המשוואה בדיוק: ({ cos} ^ 2 תטא + 3 cos תטא − 1 = 0 ), (0≤ תטא <2 pi ).

פִּתָרוֹן

אנו מתחילים באמצעות החלפה והחלפת ( cos theta ) ב- (x ). אין צורך להשתמש בתחליף, אך זה עשוי להקל על הבעיה באופן קל יותר לפתור אותה באופן חזותי. בואו ( cos theta = x ). יש לנו

(x ^ 2 + 3x − 1 = 0 )

לא ניתן לחשב את המשוואה, לכן נשתמש ב- נוסחה ריבועית: (x = dfrac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ).

[ התחל {align *} x & = dfrac {-3 pm sqrt {{(-3)} ^ 2-4 (1) (-1)}} {2} & = dfrac {- 3 pm sqrt {13}} {2} end {align *} ]

החלף (x ) ב- ( cos theta ) ופתור.

[ begin {align *} cos theta & = dfrac {-3 pm sqrt {13}} {2} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {- 3+ sqrt {13}} {2} right) end {align *} ]

שימו לב כי נעשה שימוש רק בסימן +. הסיבה לכך היא שאנחנו מקבלים שגיאה כשאנחנו פותרים את ( theta = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {−3− sqrt {13}} {2} right) ) במחשבון , מכיוון שתחום הפונקציה הקוסינוס ההופכי הוא ([-1,1] ). עם זאת, יש פיתרון שני:

[ begin {align *} theta & = { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) & בערך 1.26 end { יישר *} ]

הצד הטרמינלי הזה של הזווית טמון ברבע I. מכיוון שהקוסינוס חיובי גם ברביע הרביעי, הפיתרון השני הוא

[ begin {align *} theta & = 2 pi - { cos} ^ {- 1} left ( dfrac {-3+ sqrt {13}} {2} right) & approx 5.02 end {align *} ]

דוגמה ( PageIndex {6B} ): פתרון משוואה טריגונומטרית בצורה ריבועית על ידי פקטורינג

פתור את המשוואה בדיוק: (2 { sin} ^ 2 תטא − 5 sin theta + 3 = 0 ), (0≤ theta≤2 pi ).

פִּתָרוֹן

באמצעות קיבוץ, ניתן לשקול ריבוע זה. או בצע את ההחלפה האמיתית, ( sin theta = u ), או תאר לעצמך את זה, כאשר אנו גורמים:

[ start {align *} 2 { sin} ^ 2 theta-5 sin theta + 3 & = 0 (2 sin theta-3) ( sin theta-1) & = 0 qquad text {הגדר כעת כל גורם שווה לאפס.} 2 sin theta-3 & = 0 2 sin theta & = 3 sin theta & = dfrac {3} {2} sin theta-1 & = 0 sin theta & = 1 end {align *} ]

לאחר מכן פתר עבור ( theta ): ( sin theta ≠ dfrac {3} {2} ), שכן הטווח של פונקציית הסינוס הוא ([−1,1] ). עם זאת, ( sin theta = 1 ), נותן את הפיתרון ( theta = dfrac { pi} {2} ).

אָנָלִיזָה

הקפד לבדוק את כל הפתרונות בתחום הנתון מכיוון שלגורמים מסוימים אין פתרון.

תרגיל ( PageIndex {4} )

פתור ({ sin} ^ 2 תטא = 2 cos תטא + 2 ), (0≤ תטא <2 pi ). [רמז: בצע תחליף לביטוי המשוואה רק במונחים של קוסינוס.]

תשובה

( cos תטא = -1 ), ( תטא = pi )

דוגמה ( PageIndex {7A} ): פתרון משוואה טריגונומטרית באמצעות אלגברה

לפתור בדיוק: (2 { sin} ^ 2 תטא + sin תטא = 0; רווח 0≤ תטא <2 pi )

פִּתָרוֹן

בעיה זו אמורה להיראות מוכרת מכיוון שהיא דומה לריבועית. בואו ( sin theta = x ). המשוואה הופכת ל (2x ^ 2 + x = 0 ). אנו מתחילים בפקטורינג:

[ התחל {יישר *}
2x ^ 2 + x & = 0
x (2x + 1) & = 0 qquad text {הגדר כל גורם שווה לאפס.}
x & = 0
2x + 1 & = 0
x & = - dfrac {1} {2} end {align *} ]
לאחר מכן, החלף בחזרה למשוואה את הביטוי המקורי ( sin theta ) עבור (x ). לכן,
[ start {align *} sin theta & = 0
תטא & = 0, pi
sin theta & = - dfrac {1} {2}
theta & = dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} {6}
end {align *} ]

הפתרונות בתוך התחום (0≤ theta <2 pi ) הם ( theta = 0, pi, dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} {6} ).

אם אנו מעדיפים שלא להחליף, נוכל לפתור את המשוואה על ידי ביצוע אותה דפוס של פקטורינג והגדרת כל גורם שווה לאפס.

[ start {align *} { sin} ^ 2 theta + sin theta & = 0 sin theta (2 sin theta + 1) & = 0 sin theta & = 0 theta & = 0, pi 2 sin theta + 1 & = 0 2 sin theta & = -1 sin theta & = - dfrac {1} {2} theta & = dfrac {7 pi} {6}, dfrac {11 pi} {6} end {align *} ]

אָנָלִיזָה

אנו יכולים לראות את הפתרונות בגרף באיור ( PageIndex {3} ). במרווח (0≤ theta <2 pi ), הגרף חוצה את (x )-ציר ארבע פעמים, בפתרונות שצוינו. שימו לב שמשוואות טריגונומטריות שנמצאות בצורה ריבועית יכולות להניב עד ארבעה פתרונות במקום השניים הצפויים שנמצאים עם משוואות ריבועיות. בדוגמה זו, כל פתרון (זווית) המתאים לערך סינוס חיובי יניב שתי זוויות שיגרמו לערך זה.

אנו יכולים לאמת את הפתרונות במעגל היחידה דרך התוצאה גם בסעיף זהויות סכום והבדל.

דוגמא ( PageIndex {7B} ): פתרון משוואה טריגונומטרית ריבועית בצורה

פתור את המשוואה הריבועית בצורה מדויקת: (2 { sin} ^ 2 theta − 3 sin theta + 1 = 0 ), (0≤ theta <2 pi ).

פִּתָרוֹן

אנחנו יכולים לעשות שימוש בקיבוץ. ניתן למצוא ערכי פיתרון של ( theta ) במעגל היחידה.

[ start {align *} (2 sin theta-1) ( sin theta-1) & = 0 2 sin theta-1 & = 0 sin theta & = dfrac {1 } {2} theta & = dfrac { pi} {6}, dfrac {5 pi} {6} sin theta & = 1 theta & = dfrac { pi} {2 } end {align *} ]

תרגיל ( PageIndex {5} )

פתור את המשוואה הריבועית (2 { cos} ^ 2 תטא + cos תטא = 0 ).

תשובה

( dfrac { pi} {2}, space dfrac {2 pi} {3}, space dfrac {4 pi} {3}, space dfrac {3 pi} {2} )

פתרון משוואות טריגונומטריות באמצעות זהויות בסיסיות

אמנם ניתן להשתמש באלגברה כדי לפתור מספר משוואות טריגונומטריות, אך אנו יכולים להשתמש בזהויות היסודיות מכיוון שהן הופכות את פיתרון המשוואות לפשוט יותר. זכור כי הטכניקות בהן אנו משתמשים לפתרון אינן זהות לאלה לאימות הזהויות. הכללים הבסיסיים של האלגברה חלים כאן, בניגוד לשכתוב צד אחד של הזהות כך שיתאים לצד השני. בדוגמה הבאה אנו משתמשים בשתי זהויות כדי לפשט את המשוואה.

דוגמא ( PageIndex {8} ): פתרון משוואה באמצעות זהות

פתור את המשוואה במדויק באמצעות זהות: (3 cos theta + 3 = 2 { sin} ^ 2 theta ), (0≤ theta <2 pi ).

פִּתָרוֹן

אם נכתוב מחדש את הצד הימני, נוכל לכתוב את המשוואה במונחים של קוסינוס:

[ התחל {יישר *}
3 cos תטא + 3 & = 2 { sin} ^ 2 תטא
3 cos תטא + 3 & = 2 (1 - { cos} ^ 2 תטא)
3 cos תטא + 3 & = 2-2 { cos} ^ 2 תטא
2 { cos} ^ 2 תטא + 3 cos תטא + 1 & = 0
(2 cos תטא + 1) ( cos תטא + 1) & = 0
2 cos תטא + 1 & = 0
cos theta & = - dfrac {1} {2}
theta & = dfrac {2 pi} {3}, space dfrac {4 pi} {3}
cos תטא + 1 & = 0
cos theta & = -1
תטא & = pi
end {align *} ]

הפתרונות שלנו הם ( theta = dfrac {2 pi} {3}, space dfrac {4 pi} {3}, space pi ).

פתרון משוואות טריגונומטריות עם זוויות מרובות

לעיתים לא ניתן לפתור משוואה טריגונומטרית עם זהויות בעלות זווית מרובה, כגון ( sin (2x) ) או ( cos (3x) ). כאשר אתה מתמודד עם משוואות אלה, זכור כי (y = sin (2x) ) הוא דחיסה אופקית על ידי גורם 2 של הפונקציה (y = sin x ). במרווח של (2 pi ) נוכל לשרטט שתי תקופות של (y = sin (2x) ), לעומת מחזור אחד של (y = sin x ). דחיסה זו של הגרף מביאה אותנו להאמין שיכולה להיות כפולה איקס- יירוטים או פתרונות ל- ( sin (2x) = 0 ) לעומת ( sin x = 0 ). מידע זה יעזור לנו לפתור את המשוואה.

דוגמה ( PageIndex {9} ): פתרון משוואה טריגונומטרית מרובת זווית

לפתור בדיוק: ( cos (2x) = dfrac {1} {2} ) ב- ([0,2 pi) ).

פִּתָרוֹן

אנו יכולים לראות כי משוואה זו היא המשוואה הסטנדרטית עם מכפלת של זווית. אם ( cos ( alpha) = dfrac {1} {2} ), אנו יודעים ( alpha ) נמצא ברבעונים I ו- IV. בעוד ש ( theta = { cos} ^ {- 1} dfrac {1} {2} ) יניב פתרונות רק ברבעים I ו- II, אנו מכירים בכך שהפתרונות למשוואה ( cos theta = dfrac {1} {2} ) יהיה ברביעים I ו- IV.

לכן, הזוויות האפשריות הן ( theta = dfrac { pi} {3} ) ו- ( theta = dfrac {5 pi} {3} ). אז, (2x = dfrac { pi} {3} ) או (2x = dfrac {5 pi} {3} ), כלומר (x = dfrac { pi} {6 } ) או (x = dfrac {5 pi} {6} ). האם זה הגיוני? כן, כי ( cos left (2 left ( dfrac { pi} {6} right) right) = cos left ( dfrac { pi} {3} right) = dfrac {1} {2} ).

האם יש תשובות אפשריות אחרות? בואו נחזור לצעדנו הראשון.

ברבע I, (2x = dfrac { pi} {3} ), אז (x = dfrac { pi} {6} ) כאמור. בואו נסוב שוב סביב המעגל:

[ התחל {יישר *}
2x & = dfrac { pi} {3} +2 pi
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {6 pi} {3}
& = dfrac {7 pi} {3}
x & = dfrac {7 pi} {6}
text {תשואה נוספת של סיבוב}
2x & = dfrac { pi} {3} +4 pi
& = dfrac { pi} {3} + dfrac {12 pi} {3}
& = dfrac {13 pi} {3}
end {align *} ]

(x = dfrac {13 pi} {6}> 2 pi ), לכן ערך זה עבור (x ) גדול מ- (2 pi ), כך שהוא אינו פיתרון ב- ( [0,2 pi) ).

ברבע הרביעי, (2x = dfrac {5 pi} {3} ), כך (x = dfrac {5 pi} {6} ) כאמור. בואו נסוב שוב סביב המעגל:

[ start {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +2 pi & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {6 pi} {3} & = dfrac {11 pi} {3} end {align *} ]

כך (x = dfrac {11 pi} {6} ).

עוד סיבוב אחד מניב

[ begin {align *} 2x & = dfrac {5 pi} {3} +4 pi & = dfrac {5 pi} {3} + dfrac {12 pi} {3} & = dfrac {17 pi} {3} end {align *} ]

(x = dfrac {17 pi} {6}> 2 pi ), לכן ערך זה עבור (x ) גדול מ- (2 pi ), כך שהוא אינו פיתרון ב- ( [0,2 pi) ).

הפתרונות שלנו הם (x = dfrac { pi} {6}, space dfrac {5 pi} {6}, space dfrac {7 pi} {6} ) ו- ( dfrac {11 pi} {6} ). שימו לב שבכל פעם שאנחנו פותרים בעיה בצורה (sin (nx) = c ), עלינו לעקוף את מעגל היחידה (n ) פעמים.

מושגי מפתח

  • כאשר אנו פותרים משוואות טריגונומטריות ליניאריות, אנו יכולים להשתמש בטכניקות אלגבריות בדיוק כפי שאנו פותרים משוואות אלגבריות. חפש דפוסים, כמו ההבדל בין ריבועים, צורה ריבועית או ביטוי המעניק את עצמו היטב להחלפה. ראה דוגמה ( PageIndex {1} ), דוגמה ( PageIndex {2} ) ודוגמא ( PageIndex {3} ).
  • ניתן לפתור או לאמת משוואות הכוללות פונקציה טריגונומטרית אחת באמצעות מעגל היחידה. ראה דוגמה ( PageIndex {4} ), דוגמה ( PageIndex {5} ) ודוגמא ( PageIndex {6} ), ודוגמא ( PageIndex {7} ).
  • אנו יכולים גם לפתור משוואות טריגונומטריות באמצעות מחשבון גרפים. ראה דוגמה ( PageIndex {8} ) ודוגמא ( PageIndex {9} ).
  • משוואות רבות נראות ריבועיות בצורה. אנו יכולים להשתמש בתחליף כדי שהמשוואה תיראה פשוטה יותר, ואז להשתמש באותן טכניקות בהן אנו משתמשים בפתרון ריבוע אלגברי: פקטורינג, הנוסחה הריבועית וכו '. ראה דוגמה ( PageIndex {10} ), דוגמה ( PageIndex { 11} ), דוגמה ( PageIndex {12} ) ודוגמא ( PageIndex {13} ).
  • אנו יכולים גם להשתמש בזהויות כדי לפתור משוואה טריגונומטרית. ראה דוגמה ( PageIndex {14} ), דוגמה ( PageIndex {15} ) ודוגמא ( PageIndex {16} ).
  • אנו יכולים להשתמש בתחליף כדי לפתור משוואה טריגונומטרית מרובת זווית, שהיא דחיסה של פונקציה טריגונומטרית סטנדרטית. נצטרך לקחת את הדחיסה בחשבון ולוודא שמצאנו את כל הפתרונות במרווח הנתון. ראה דוגמה ( PageIndex {17} ).
  • ניתן לעצב ולפתור תרחישים בעולם האמיתי באמצעות משפט פיתגורס ופונקציות טריגונומטריות. ראה דוגמה ( PageIndex {18} ).


צפו בסרטון: פתרון משוואות טריגונומטריות-שיעור 1 (דֵצֶמבֶּר 2021).