מאמרים

2.2: גרפים של פונקציות לינאריות


מטרות למידה

  • גרף פונקציות לינאריות.
  • כתוב את המשוואה לפונקציה לינארית מגרף הקו.
  • בהתחשב במשוואות של שתי שורות, קבע אם הגרפים שלהם מקבילים או בניצב.
  • כתוב את המשוואה של קו מקביל או מאונך לשורה נתונה.
  • לפתור מערכת משוואות ליניאריות.

שתי חברות טלפון מתחרות מציעות תוכניות תשלום שונות. שתי התוכניות גובות את אותו שיעור לדקה למרחקים ארוכים, אך גובות תשלום חודשי שונה. צרכן רוצה לקבוע אם שתי התוכניות יעלו אי פעם סכום זהה עבור מספר נתוני דקות למרחקים ארוכים. העלות הכוללת של כל תוכנית תשלום יכולה להיות מיוצגת על ידי פונקציה לינארית. כדי לפתור את הבעיה נצטרך להשוות את הפונקציות. בחלק זה נשקול שיטות להשוואת פונקציות באמצעות גרפים.

גרפים פונקציות לינאריות

בעבר ראינו כי הגרף של פונקציה לינארית הוא קו ישר. הצלחנו גם לראות את נקודות הפונקציה כמו גם את הערך ההתחלתי מגרף. אם תרשים שתי פונקציות, נוכל להשוות ביתר קלות את המאפיינים שלהן. ישנן שלוש שיטות בסיסיות לרישום פונקציות לינאריות:

  1. זממו את הנקודות ואז ציירו קו בין הנקודות.
  2. השתמש בכיוון y ובשיפוע.
  3. השתמש בתמורות של פונקציית הזהות (f (x) = x ).

רישום פונקציה על ידי תכנון נקודות

כדי למצוא נקודות בפונקציה נוכל לבחור ערכי קלט, להעריך את הפונקציה בערכי קלט אלה ולחשב ערכי פלט. ערכי הקלט וערכי הפלט התואמים יוצרים זוגות קואורדינטות. לאחר מכן אנו מתווים את זוגות הקואורדינטות על גבי רשת. באופן כללי, עלינו להעריך את הפונקציה במינימום שתי כניסות על מנת למצוא לפחות שתי נקודות בגרף. לדוגמא, בהינתן הפונקציה, (f (x) = 2x ), אנו עשויים להשתמש בערכי הקלט 1 ו- 2. הערכת הפונקציה לערך קלט של 1 מניבה ערך פלט של 2, המיוצג על ידי הנקודה ((1,2) ). הערכת הפונקציה לערך קלט של 2 מניבה ערך פלט של 4, המיוצג על ידי הנקודה ((2,4) ). לעתים קרובות מומלץ לבחור שלוש נקודות מכיוון שאם שלוש הנקודות אינן נופלות על אותו קו, אנו יודעים שטעינו.

כיצד: ניתן פונקציה ליניארית, גרף לפי התוויית נקודות.

  1. בחר מינימום של שני ערכי קלט.
  2. הערך את הפונקציה בכל ערך קלט.
  3. השתמש בערכי הפלט המתקבלים לזיהוי זוגות קואורדינטות.
  4. התווה את זוגות הקואורדינטות על גבי רשת.
  5. צייר קו דרך הנקודות.

דוגמה ( PageIndex {1} ): רישום על ידי תכנון נקודות

גרף (f (x) = - frac {2} {3} x + 5 ) על ידי התוויית נקודות.

פִּתָרוֹן

התחל בבחירת ערכי קלט. פונקציה זו כוללת שבר עם מכנה של 3, אז בואו נבחר מכפילים של 3 כערכי קלט. אנו בוחרים 0, 3 ו -6.

הערך את הפונקציה בכל ערך קלט והשתמש בערך הפלט לזיהוי זוגות קואורדינטות.

[ start {align *} x & = 0 & f (0) & = - dfrac {2} {3} (0) + 5 = 5 rightarrow (0,5) x & = 3 & f (3 ) & = - dfrac {2} {3} (3) + 5 = 3 rightarrow (3,3) x & = 6 & f (6) & = - dfrac {2} {3} (6) + 5 = 1 rightarrow (6,1) end {align *} ]

התווה את זוגות הקואורדינטות וצייר קו דרך הנקודות. איור ( PageIndex {1} ) מייצג את הגרף של הפונקציה (f (x) = - frac {2} {3} x + 5 ).

אָנָלִיזָה

גרף הפונקציה הוא קו כצפוי לפונקציה לינארית. בנוסף, לגרף יש שיפוע כלפי מטה, המציין שיפוע שלילי. זה צפוי גם מקצב השינוי הקבוע השלילי במשוואה לפונקציה.

תרגיל ( PageIndex {1} )

גרף (f (x) = - frac {3} {4} x + 6 ) על ידי התוויית נקודות.

תשובה

רישום פונקציה באמצעות יירוט y ו- Slope

דרך נוספת לשרטט פונקציות לינאריות היא באמצעות מאפיינים ספציפיים של הפונקציה במקום על ידי נקודות עלילה. המאפיין הראשון הוא שלה יירוט y, שהיא הנקודה בה ערך הקלט הוא אפס. כדי למצוא את יירוט ה- y, אנו יכולים להגדיר (x = 0 ) במשוואה.

המאפיין הנוסף של הפונקציה הליניארית הוא שיפוע (m ), המהווה מדד לתלילותה. נזכיר כי השיפוע הוא קצב השינוי של הפונקציה. שיפוע הפונקציה שווה ליחס בין שינוי היציאות לשינוי התשומות. דרך נוספת לחשוב על השיפוע היא על ידי חלוקת ההפרש האנכי, או עלייה, בהפרש האופקי, או ריצה. פגשנו הן את יירוט ה- y והן את השיפוע בפונקציות לינאריות.

בואו ניקח בחשבון את הפונקציה הבאה.

[f (x) = dfrac {1} {2} x + 1 ]

השיפוע הוא ( frac {1} {2} ). מכיוון שהשיפוע חיובי, אנו יודעים שהגרף ישתפל מעלה משמאל לימין. יירוט ה- y הוא הנקודה בגרף כאשר (x = 0 ). הגרף חוצה את ציר y ב- ((0,1) ). עכשיו אנחנו יודעים את השיפוע ואת יירוט ה- y. אנו יכולים להתחיל בשרטוט על ידי התוויית הנקודה ((0,1) ) אנו יודעים שהשיפוע עולה בריצה, (m = frac { text {rise}} { text {run}} ). מהדוגמה שלנו, יש לנו (m = frac {1} {2} ), כלומר העלייה היא 1 והריצה היא 2. אז החל מ יירוט ה- y שלנו ((0,1) ) , אנו יכולים לעלות 1 ואז לרוץ 2, או לרוץ 2 ואז לעלות 1. אנו חוזרים על כך עד שיש לנו כמה נקודות, ואז אנו מציירים קו דרך הנקודות כפי שמוצג באיור ( PageIndex {3} ).

פרשנות גרפית לפונקציה לינארית

במשוואה (f (x) = mx + b )

  • (b ) הוא חיתוך y של הגרף ומציין את הנקודה ((0, b) ) בה הגרף חוצה את ציר y.
  • (m ) הוא שיפוע הקו ומציין תזוזה אנכית (עלייה) ותזוזה אופקית (ריצה) בין כל זוג נקודות עוקבות. זכור את הנוסחה לשיפוע:

[m = dfrac { text {שינוי בפלט (עלייה)}} { text {שינוי בקלט (הפעלה)}} = dfrac {{ Delta} y} {{ Delta} x} = dfrac {y_2-y_1} {x_2-x_1} ]

תרגיל ( PageIndex {1} )

האם לכל הפונקציות הליניאריות יש יירוט y?

תשובה

כן. כל הפונקציות הלינאריות חוצות את ציר ה- y ולכן יש להן יירוט y. (הערה: לקו אנכי המקביל לציר ה- y אין יירוט y, אך הוא אינו פונקציה.)

כיצד: בהתחשב במשוואה לפונקציה לינארית, גרף את הפונקציה באמצעות יירוט ה- y והמדרון.

  1. הערך את הפונקציה בערך קלט של אפס כדי למצוא את יירוט ה- y.
  2. זהה את השיפוע כקצב השינוי של ערך הקלט.
  3. התווה את הנקודה המיוצגת על ידי יירוט ה- y.
  4. השתמש ב- ( frac { text {rise}} { text {run}} ) כדי לקבוע לפחות שתי נקודות נוספות בשורה.
  5. שרטט את הקו שעובר דרך הנקודות.

דוגמה ( PageIndex {2} ): רישום באמצעות יירטור y ו- Slope

גרף (f (x) = - frac {2} {3} x + 5 ) באמצעות יירוט השיפוע והשיפוע.

פִּתָרוֹן

הערך את הפונקציה ב- (x = 0 ) כדי למצוא את יירוט ה- y. ערך הפלט כאשר (x = 0 ) הוא 5, כך שהגרף יחצה את ציר y ב- ((0,5) ).

על פי המשוואה לפונקציה, שיפוע הקו הוא (- frac {2} {3} ). זה אומר לנו שלכל ירידה אנכית ב"עלייה "של -2 יחידות," הריצה "עולה בכ -3 יחידות בכיוון האופקי. כעת אנו יכולים לשרטט את הפונקציה על ידי התווייה ראשונה של יירוט ה- y בתרשים ( PageIndex {4} ). מהערך ההתחלתי ((0,5) ) אנו עוברים למטה 2 יחידות ומימין 3 יחידות. אנו יכולים להאריך את הקו שמאלה וימינה על ידי חזרה, ואז לשרטט קו דרך הנקודות.

אָנָלִיזָה

הגרף מוטה כלפי מטה משמאל לימין, מה שאומר שיש שיפוע שלילי כצפוי.

תרגיל ( PageIndex {2} )

מצא נקודה בגרף שציירנו בדוגמה ( PageIndex {2} ) שיש לה ערך x שלילי.

תשובה

התשובות האפשריות כוללות ((- 3,7) ), ((- 6,9) ) או ((- 9,11) ).

גרף פונקציה באמצעות טרנספורמציות

אפשרות נוספת עבור גרפים היא שימוש טרנספורמציות של פונקציית הזהות (f (x) = x ). פונקציה עשויה להפוך על ידי שינוי מעלה, מטה, שמאלה או ימינה. ניתן לשנות פונקציה גם באמצעות השתקפות, מתיחה או דחיסה.

מתיחה אנכית או דחיסה

במשוואה (f (x) = mx ), (m ) מתנהג כ- מתיחה אנכית אוֹ דְחִיסָה של פונקציית הזהות. כאשר (m ) הוא שלילי, יש גם השתקפות אנכית של הגרף. שימו לב באיור ( PageIndex {5} ) כי הכפלת המשוואה של (f (x) = x ) ב- (m ) מותחת את הגרף של (f ) בפקטור (m ) יחידות אם (m> 1 ) ודוחס את הגרף של (f ) לפי גורם של (m ) יחידות אם (0

שינוי אנכי

ב- (f (x) = mx + b ), (b ) משמש כ- תזוזה אנכית, להזיז את הגרף למעלה ולמטה מבלי להשפיע על שיפוע הקו. שימו לב באיור ( PageIndex {6} ) כי הוספת ערך (b ) למשוואה של (f (x) = x ) משמרת את הגרף של (f ) סך הכל (b ) יחידות למעלה אם (b ) חיובי ו- (| b | ) יחידות למטה אם (b ) הוא שלילי.

שימוש במתיחות אנכיות או דחיסות יחד עם תזוזות אנכיות היא דרך נוספת להתבונן בזיהוי סוגים שונים של פונקציות לינאריות. למרות שזו אולי לא הדרך הקלה ביותר לשרטט פונקציה מסוג זה, עדיין חשוב לתרגל כל שיטה.

בהתחשב במשוואה של פונקציה לינארית, השתמש בתמורות לשרטט את הפונקציה הלינארית בצורה (f (x) = mx + b ).

  1. גרף (f (x) = x ).
  2. מתיחה אנכית או דחיסה של הגרף לפי גורם (m ).
  3. הסט את הגרף מעלה או מטה יחידות (b ).

דוגמא ( PageIndex {3} ): גרפים באמצעות טרנספורמציות

גרף (f (x) = frac {1} {2} x − 3 ) באמצעות טרנספורמציות.

פִּתָרוֹן

המשוואה לפונקציה מראה ש (m = frac {1} {2} ) כך שפונקציית הזהות נדחסת אנכית על ידי ( frac {1} {2} ). המשוואה לפונקציה מראה גם ש (b = −3 ) ולכן פונקציית הזהות מוסטת אנכית למטה ל -3 יחידות. ראשית, גרף את פונקציית הזהות והראה את הדחיסה האנכית כמו באיור ( PageIndex {7} ).

לאחר מכן הראה את השינוי האנכי כמו באיור ( PageIndex {8} ).

תרגיל ( PageIndex {3} )

גרף (f (x) = 4 + 2x ), באמצעות טרנספורמציות.

תשובה

בדוגמה 2.2.3, האם היינו יכולים לשרטט את הגרף על ידי היפוך סדר הטרנספורמציות?

לא. סדר התמורות עוקב אחר סדר הפעולות. כאשר מעריכים את הפונקציה בקלט נתון, הפלט המקביל מחושב לפי סדר הפעולות. זו הסיבה שביצענו תחילה את הדחיסה. לדוגמא, לפי הצו: תן לקלט להיות 2.

[ begin {align} f (2) & = dfrac {1} {2} (2) -3 & = 1-3 & = - 2 end {align} ]

כתיבת המשוואה לפונקציה מגרף הקו

נזכיר שבפונקציות לינאריות כתבנו את המשוואה לפונקציה לינארית מגרף. כעת אנו יכולים להרחיב את מה שאנו יודעים על גרפים של פונקציות ליניאריות בכדי לנתח גרפים מעט מקרוב יותר. התחל במבט על איור ( PageIndex {10} ). אנו יכולים לראות מיד שהגרף חוצה את ציר y בנקודה ((0, 4) ) ולכן זהו יירוט ה- y.

אז נוכל לחשב את השיפוע על ידי מציאת העלייה והריצה. אנו יכולים לבחור בשתי נקודות כלשהן, אך בואו נסתכל על הנקודה (-2,0). כדי להגיע מנקודה זו אל יירוט ה- y, עלינו לעלות למעלה 4 יחידות (לעלות) ולצד 2 יחידות ימינה (לרוץ). אז השיפוע חייב להיות

[m = dfrac { text {rise}} { text {run}} = dfrac {4} {2} = 2 ]

החלפת השיפוע ויירוט ה- Y לצורת יירוט השיפוע של קו נותנת

[y = 2x + 4 ]

נתון גרף של פונקציה לינארית, מצא את המשוואה לתיאור הפונקציה.

  1. זהה את יירוט ה- y של משוואה.
  2. בחר שתי נקודות לקביעת השיפוע.
  3. החלף את יירוט ה- y ואת השיפוע לצורת יירוט השיפוע של קו.

דוגמא ( PageIndex {4} ): התאמת פונקציות לינאריות לגרפים שלהן

התאם כל משוואה של הפונקציות הלינאריות לאחת השורות באיור ( PageIndex {11} ).

  1. (f (x) = 2x + 3 )
  2. (g (x) = 2x -3 )
  3. (h (x) = - 2x + 3 )
  4. (j (x) = frac {1} {2} x + 3 )

פִּתָרוֹן

ניתוח המידע עבור כל פונקציה.

  1. לפונקציה זו שיפוע של 2 ונקיטת y של 3. עליה לעבור דרך הנקודה ((0, 3) ) ולהטות כלפי מעלה משמאל לימין. אנו יכולים להשתמש בשתי נקודות כדי למצוא את המדרון, או להשוות אותו עם שאר הפונקציות הרשומות. לפונקציה (g ) יש שיפוע זהה, אך יירוט y שונה. לקווים I ו- III יש אותה שיפוע מכיוון שיש להם שיפוע זהה. קו III אינו עובר ((0, 3) ) ולכן (f ) חייב להיות מיוצג על ידי קו I.
  2. לפונקציה זו יש גם שיפוע של 2, אך יירוט y של -3. עליו לעבור דרך הנקודה ((0, -3) ) ולהטות אותו משמאל לימין. זה חייב להיות מיוצג על ידי קו III.
  3. לפונקציה זו שיפוע של -2 ונקודת y של 3. זוהי הפונקציה היחידה המופיעה בשיפוע שלילי, ולכן עליה להיות מיוצגת על ידי קו IV מכיוון שהיא נוטה כלפי מטה משמאל לימין.
  4. לפונקציה זו יש שיפוע של ( frac {1} {2} ) ויציאת y של 3. עליה לעבור דרך הנקודה (0, 3) ולהטות כלפי מעלה משמאל לימין. שורות I ו- II עוברות דרך ((0, 3) ), אך השיפוע של (j ) קטן יותר משיפוע (f ) ולכן הקו עבור (j ) חייב להיות שטוח יותר. פונקציה זו מיוצגת על ידי קו II.

כעת נוכל לתייג מחדש את השורות כמו באיור ( PageIndex {12} ).

מציאת יירוט ה- x של קו

עד כה מצאנו את יירוט ה- y של פונקציה: הנקודה בה הגרף של הפונקציה חוצה את ציר ה- y. לפונקציה עשויה להיות גם יירוט x, שהוא ציר x של הנקודה בה גרף הפונקציה חוצה את ציר ה- x. במילים אחרות, זהו ערך הקלט כאשר ערך הפלט הוא אפס.

כדי למצוא את יירוט ה- x, הגדר פונקציה (f (x) ) השווה לאפס ופתור את הערך (x ). לדוגמה, שקול את הפונקציה המוצגת.

[f (x) = 3x −6 ]

הגדר את הפונקציה שווה ל- 0 ופתור עבור (x ).

[ התחל {align} 0 & = 3x-6 6 & = 3x 2 & = x x & = 2 end {align} ]

גרף הפונקציה חוצה את ציר ה- x בנקודה ((2, 0) ).

האם לכל הפונקציות הליניאריות יש יירוטים x?

הערה: יירוט x

ה יירוט x של הפונקציה הוא ערך (x ) כאשר (f (x) = 0 ). ניתן לפתור אותה על ידי המשוואה (0 = mx + b ).

דוגמה ( PageIndex {5} ): מציאת יירוט x

מצא את יירוט ה- x של (f (x) = frac {1} {2} −3 ).

פִּתָרוֹן

הגדר את הפונקציה שווה לאפס לפתרון (x ).

[ start {align *} 0 & = dfrac {1} {2} x-3 3 & = dfrac {1} {2} x 6 & = x x & = 6 end {align * } ]

הגרף חוצה את ציר ה- x בנקודה ((6, 0) ).

אָנָלִיזָה

גרף של הפונקציה מוצג באיור ( PageIndex {14} ). אנו יכולים לראות כי יירוט ה- x הוא ((6, 0) ) כפי שציפינו.

תרגיל ( PageIndex {5} )

מצא את יירוט ה- x של (f (x) = frac {1} {4} x − 4 ).

תשובה

((16, 0))

תיאור קווים אופקיים ואנכיים

ישנם שני מקרים מיוחדים של קווים בגרף - קווים אופקיים ואנכיים. א קו אופקי מציין תפוקה קבועה, או ערך y. באיור ( PageIndex {15} ) אנו רואים שלפלט יש ערך 2 לכל ערך קלט. שינוי התפוקות בין שתי נקודות כלשהן, אם כן, הוא 0. בנוסחת השיפוע, המונה הוא 0, ולכן השיפוע הוא 0. אם אנו משתמשים (m = 0 ) במשוואה (f (x) = mx + b ), המשוואה מפשטת ל- (f (x) = b ). במילים אחרות, ערך הפונקציה הוא קבוע. גרף זה מייצג את הפונקציה (f (x) = 2 ).

א קו אנכי מציין קלט קבוע, או ערך x. אנו יכולים לראות שערך הקלט לכל נקודה בשורה הוא 2, אך ערך הפלט משתנה. מכיוון שערך קלט זה ממופה ליותר מערך פלט אחד, קו אנכי אינו מייצג פונקציה. שימו לב שבין שתי נקודות כלשהן, השינוי בערכי הקלט הוא אפס. בנוסחת השיפוע, המכנה יהיה אפס, כך שהשיפוע של קו אנכי אינו מוגדר.

שימו לב שלקו אנכי, כמו זה שבתמונה ( PageIndex {17} ), יש יירוט x, אך אין יירוט y אלא אם כן זה הקו (x = 0 ). גרף זה מייצג את הקו (x = 2 ).

הגדרות: קווים אופקיים ואנכיים

קווים יכולים להיות אופקיים או אנכיים.

  • א קו אופקי הוא קו המוגדר על ידי משוואה בצורה (f (x) = b ).
  • א קו אנכי הוא קו המוגדר על ידי משוואה בצורה (x = a ).

דוגמא ( PageIndex {6} ): כתיבת משוואת קו אופקי

כתוב את משוואת השורה בתרשים באיור ( PageIndex {18} ).

פִּתָרוֹן

עבור כל ערך x, ערך y הוא -4, ולכן המשוואה היא (y = -4 ).

דוגמה ( PageIndex {7} ): כתיבת משוואת קו אנכי

כתוב את משוואת השורה בתרשים באיור ( PageIndex {19} ).

פִּתָרוֹן

ערך ה- x הקבוע הוא 7, ולכן המשוואה היא (x = 7 ).

קביעת אם קווים מקבילים או בניצב

שתי השורות באיור ( PageIndex {20} ) הן קווים מקבילים: הם לעולם לא יצטלבו. שימו לב שיש להם תלילות זהה לחלוטין, כלומר המדרונות שלהם זהים. ההבדל היחיד בין שתי השורות הוא יירוט ה- y. אם נעבור קו אחד אנכית לכיוון יירוט ה- y של השני, הם יהפכו לאותו קו.

אנו יכולים לקבוע מהמשוואות שלהם אם שני קווים מקבילים על ידי השוואת שיפועיהם. אם המדרונות זהים ויירטוט y שונה, הקווים מקבילים. אם המדרונות שונים, הקווים אינם מקבילים.

לקווים בניצב אין שיפוע זהה. מדרונות הקווים הניצבים שונים זה מזה באופן ספציפי. שיפוע קו אחד הוא הדדי השלילי של שיפוע הקו השני. תוצר המספר וההדדיות שלו היא 1. לכן, אם (m_1 ) ו- (m_2 ) הם הדדיות שליליות זה מזה, ניתן להכפיל אותם יחד כדי להניב –1.

[m_1m_2 = −1 ]

כדי למצוא את הדדי המספר, חלקו 1 במספר.כך שההדדיות של 8 היא ( frac {1} {8} ), וההדדיות של ( frac {1} {8} ) היא 8. כדי למצוא את ההדדיות השלילית, ראשית מצא את הדדי ואז לשנות את השלט.

כמו בקווים מקבילים, אנו יכולים לקבוע אם שני קווים מאונכים על ידי השוואת שיפועיהם, בהנחה שהקווים אינם אופקיים ואינם בניצב. השיפוע של כל שורה למטה הוא הדדי השלילי של השני ולכן הקווים מאונכים.

[ begin {align} f (x) & = dfrac {1} {4} x + 2 & text {הדדיות שלילית של $ dfrac {1} {4} $ היא -4} f (x ) & = - 4x + 3 & text {הדדיות השלילית של -4 היא $ dfrac {1} {4} $} end {align} ]

תוצרת המדרונות היא –1.

[- 4 Big ( dfrac {1} {4} Big) = - 1 ]

הגדרות: קווים מקבילים ומאונכים

שתי שורות הן קווים מקבילים אם הם לא מצטלבים. מדרונות הקווים זהים.

(f (x) = m_1x + b_1 ) ו- (g (x) = m_2x + b_2 ) מקבילים אם (m_1 = m_2 ).

אם ורק אם (b_1 = b_2 ) ו- (m_1 = m_2 ), אנו אומרים שהשורות חופפות. קווים מקריים הם אותו קו.

שתי שורות הן קווים בניצב אם הם מצטלבים בזווית ישרה.

(f (x) = m_1x + b_1 ) ו- (g (x) = m_2x + b_2 ) הם בניצב אם (m_1m_2 = -1 ), וכך (m_2 = dfrac {-1} { m_1} ).

דוגמא ( PageIndex {8} ): זיהוי קווים מקבילים ומאונכים

בהתחשב בפונקציות שלמטה, זהה את הפונקציות שהגרפים שלהם הם זוג קווים מקבילים וזוג קווים בניצב.

[ התחל {align} f (x) & = 2x + 3 & h (x) & = - 2x + 2 g (x) & = dfrac {1} {2} x-4 & f (x ) & = 2x-6 end {align} ]

פִּתָרוֹן

לקווים מקבילים יש שיפוע זהה. מכיוון שהפונקציות (f (x) = 2x + 3 ) ו- (j (x) = 2x − 6 ) כל אחת מהן יש שיפוע של 2, הן מייצגות קווים מקבילים. לקווים בניצב יש שיפועים הדדיים שליליים. מכיוון ש -2 ו- ( frac {1} {2} ) הם הדדיות שליליות, המשוואות, (g (x) = frac {1} {2} x − 4 ) ו- (h (x) = −2x + 2 ) מייצגים קווים בניצב.

אָנָלִיזָה

גרף של השורות מוצג באיור ( PageIndex {22} ).

הגרף מראה שהקווים (f (x) = 2x + 3 ) ו- (j (x) = 2x – 6 ) מקבילים, והשורות (g (x) = frac {1} { 2} x – 4 ) ו- (h (x) = - 2x + 2 ) הם בניצב.

כתיבת משוואת קו מקביל או מאונך לקו נתון

אם אנו יודעים את משוואת הקו, נוכל להשתמש במה שאנו יודעים על שיפוע כדי לכתוב את משוואת הקו המקבילה או המאונכת לקו הנתון.

משוואות כתיבה של קווים מקבילים

נניח לדוגמא, אנו מקבלים את המשוואה הבאה.

[f (x) = 3x + 1 nonumber ]

אנו יודעים כי שיפוע הקו שנוצר על ידי הפונקציה הוא 3. אנו יודעים גם כי יירוט ה- y הוא ((0,1) ). כל קו אחר עם שיפוע של 3 יהיה מקביל ל- (f (x) ). אז הקווים שנוצרו על ידי כל הפונקציות הבאות יהיו מקבילים ל- (f (x) ).

[ התחל {align *} g (x) & = 3x + 6 h (x) & = 3x + 1 p (x) & = 3x + dfrac {2} {3} end {align * } ]

נניח שאז נרצה לכתוב את משוואת השורה המקבילה ל- (f ) ועוברת דרך הנקודה ((1, 7) ). אנחנו כבר יודעים שהשיפוע הוא 3. עלינו רק לקבוע איזה ערך עבור (b ) ייתן את השורה הנכונה. אנו יכולים להתחיל בצורת נקודת שיפוע של משוואה לקו, ואז לכתוב אותה מחדש בצורת יירוט השיפוע.

[ התחל {יישר *} y − y_1 & = m (x − x_1) y − 7 & = 3 (x − 1) y − 7 & = 3x − 3 y & = 3x + 4 end {align *} ]

אז (g (x) = 3x + 4 ) מקביל ל- (f (x) = 3x + 1 ) ועובר דרך הנקודה ((1, 7) ).

איך ל ...

בהתחשב במשוואת הפונקציה ונקודה דרכה עובר הגרף שלה, כתוב את משוואת הקו המקביל לקו הנתון העובר בנקודה הנתונה.

  1. מצא את שיפוע הפונקציה.
  2. החלף את הערכים הנתונים במשוואת הנקודה-שיפוע הכללית או במשוואת יירוט השיפוע עבור קו.
  3. לפשט.

דוגמא ( PageIndex {9} ): מציאת קו מקביל לשורה נתונה

מצא קו מקביל לגרף של (f (x) = 3x + 6 ) שעובר בנקודה ((3, 0) ).

פִּתָרוֹן

השיפוע של השורה הנתונה הוא 3. אם נבחר בצורת יירוט השיפוע, נוכל להחליף (m = 3 ), (x = 3 ) ו- (f (x) = 0 ) ל צורת יירוט שיפוע כדי למצוא את יירוט ה- y.

[ התחל {align *} g (x) & = 3x + b 0 & = 3 (3) + b b & = - 9 end {align *} ]

הקו המקביל ל- (f (x) ) שעובר דרך ((3,0) ) הוא (g (x) = 3x − 9 ).

אָנָלִיזָה

אנו יכולים לאשר ששני הקווים מקבילים על ידי גרף שלהם. איור ( PageIndex {23} ) מראה ששתי השורות לעולם לא יצטלבו.

משוואות כתיבה של קווים מאונכים

אנו יכולים להשתמש בתהליך דומה מאוד כדי לכתוב את המשוואה עבור שורה בניצב לשורה נתונה. במקום להשתמש באותה שיפוע, לעומת זאת, אנו משתמשים בהדדיות השלילית של המדרון הנתון. נניח שקיבלנו את הפונקציה הבאה:

[f (x) = 2x + 4 nonumber ]

שיפוע הקו הוא 2, והדדיות השלילית שלו היא (- frac {1} {2} ). כל פונקציה עם שיפוע של (- frac {1} {2} ) תהיה בניצב ל- (f (x) ). כך שהקווים הנוצרים על ידי כל הפונקציות הבאות יהיו בניצב ל- (f (x) ).

[ start {align *} g (x) & = - dfrac {1} {2} x + 4 [4pt] h (x) & = - dfrac {1} {2} x + 2 [4pt] p (x) & = - dfrac {1} {2} x- dfrac {1} {2} end {align *} ]

כמו בעבר, אנו יכולים לצמצם את הבחירות שלנו לקו ניצב מסוים אם אנו יודעים שהוא עובר בנקודה נתונה. נניח שאז נרצה לכתוב את משוואת השורה המאונכת ל- (f (x) ) ועוברת בנקודה ((4, 0) ). אנו כבר יודעים שהשיפוע הוא (- frac {1} {2} ). כעת נוכל להשתמש בנקודה כדי למצוא את יירוט ה- y על ידי החלפת הערכים הנתונים לצורת יירוט השיפוע של קו ופתרון עבור (b ).

[ התחל {align *} g (x) & = mx + b [4pt] 0 & = - dfrac {1} {2} (4) + b [4pt] 0 & = -2 + b [4pt] 2 & = b b & = 2 end {align *} ]

המשוואה לפונקציה עם שיפוע של (- frac {1} {2} ) ויציאת y של 2 היא

[g (x) = - dfrac {1} {2} x + 2 ]

אז (g (x) = - frac {1} {2} x + 2 ) מאונך ל- (f (x) = 2x + 4 ) ועובר בנקודה ((4, 0) ). שים לב שקווים בניצב עשויים שלא להיראות בניצב בעליל במחשבון גרפים אלא אם כן אנו משתמשים בתכונת הזום המרובע.

לקו אופקי יש שיפוע של אפס ולקו אנכי יש שיפוע לא מוגדר. שני קווים אלה מאונכים, אך תוצרת מדרונותיהם אינה -1. האם עובדה זו אינה סותרת את ההגדרה של קווים בניצב?

לא. לשתי פונקציות לינאריות מאונכות, תוצרת שיפועיהן היא -1. עם זאת, קו אנכי אינו פונקציה ולכן ההגדרה אינה מנוגדת.

איך ל...

בהינתן משוואת הפונקציה ונקודה דרכה עובר הגרף שלה, כתוב את משוואת קו הניצב לקו הנתון.

  1. מצא את שיפוע הפונקציה.
  2. קבע את ההדדיות השלילית של המדרון.
  3. החלף את המדרון החדש ואת הערכים עבור (x ) ו- (y ) מצמד הקואורדינטות הניתן ל- (g (x) = mx + b ).
  4. פתר עבור (b ).
  5. כתוב את המשוואה עבור השורה.

דוגמא ( PageIndex {10} ): מציאת משוואת קו אנכי

מצא את המשוואה של קו בניצב ל- (f (x) = 3x + 3 ) העוברת בנקודה ((3, 0) ).

פִּתָרוֹן

לקו המקורי יש שיפוע (m = 3 ), לכן שיפוע הקו הניצב יהיה הדדי שלילי, או (- frac {1} {3} ). בעזרת שיפוע זה והנקודה הנתונה נוכל למצוא את משוואת הקו.

[ התחל {align *} g (x) & = ; - dfrac {1} {3} x + b [4pt] 0 & = ; - dfrac {1} {3} (3) + b [4pt] 1 & = b b & = 1 end {align *} ]

הקו הניצב ל- (f (x) ) שעובר דרך ((3, 0) ) הוא (g (x) = - frac {1} {3} x + 1 ).

אָנָלִיזָה

גרף של שתי השורות מוצג באיור ( PageIndex {24} ) להלן.

תרגיל ( PageIndex {5} )

בהינתן הפונקציה (h (x) = 2x − 4 ), כתוב משוואה לקו העובר ((0,0) )

  1. מקביל ל- (h (x) )
  2. בניצב ל- (h (x) )
תשובה

(f (x) = 2x ) (g (x) = - frac {1} {2} x )

איך ל...

בהינתן שתי נקודות על קו ונקודה שלישית, כתוב את משוואת הקו הניצב שעובר בנקודה.

  1. קבע את שיפוע הקו העובר בנקודות.
  2. מצא את ההדדיות השלילית של המדרון.
  3. השתמש בצורת יירוט השיפוע או צורת השיפוע כדי לכתוב את המשוואה על ידי החלפת הערכים הידועים.
  4. לפשט.

דוגמה ( PageIndex {11} ): מציאת משוואת קו מאונך לקו נתון העובר בנקודה

קו עובר דרך הנקודות ((- 2, 6) ) ו- ((4,5) ). מצא את המשוואה של קו מאונך שעובר בנקודה ((4,5) ).

משתי הנקודות של השורה הנתונה, אנו יכולים לחשב את שיפוע הקו הזה.

[ התחל {align *} m_1 & = dfrac {5-6} {4 - (- 2)} & = dfrac {-1} {6} & = - dfrac {1} {6 } end {align *} ]

מצא את ההדדיות השלילית של המדרון.

[ begin {align *} m_2 & = dfrac {-1} {- dfrac {1} {6}} & = - 1 Big (- dfrac {6} {1} Big) & = 6 end {align *} ]

לאחר מכן נוכל לפתור את יירוט ה- y של הקו העובר בנקודה ((4,5) ).

[ התחל {יישר *} g (x) & = 6x + b 5 & = 6 (4) + b 5 & = 24 + b −19 & = b b & = - 19 end {align *} ]

המשוואה לקו הניצב לקו העובר בשתי הנקודות הנתונות ועובר גם בנקודה ((4,5) )

[y = 6x − 19 nonumber ]

תרגיל ( PageIndex {1} )

קו עובר דרך הנקודות, ((- 2, −15) ) ו- ((2, −3) ). מצא את המשוואה של קו אנכי העובר בנקודה, ((6,4) ).

תשובה

(y = ; - dfrac {1} {3} x + 6 )

פתרון מערכת משוואות לינאריות באמצעות גרף

מערכת משוואות ליניאריות כוללת שתי משוואות ליניאריות או יותר. הגרפים של שתי שורות יצטלבו בנקודה אחת אם הם אינם מקבילים. שני קווים מקבילים יכולים להצטלב גם אם הם חופפים, מה שאומר שהם אותו קו והם מצטלבים בכל נקודה. בשני קווים שאינם מקבילים, נקודת החיתוך היחידה תספק את שתי המשוואות ולכן תייצג את הפיתרון למערכת.

כדי למצוא נקודה זו כאשר המשוואות ניתנות כפונקציות, נוכל לפתור ערך קלט כך ש (f (x) = g (x) ). במילים אחרות, אנו יכולים להגדיר את הנוסחאות עבור השורות השוות זו לזו, ולפתור את הקלט העונה על המשוואה.

דוגמה ( PageIndex {12} ): מציאת נקודת חיתוך באופן אלגברי

מצא את נקודת החיתוך של השורות (h (t) = 3t − 4 ) ו- (j (t) = 5 − t ).

פִּתָרוֹן

הגדר (h (t) = j (t) ).

[ start {align} 3t-4 & = 5-t 4t & = 9 t & = dfrac {9} {4} end {align} ]

זה אומר לנו שהשורות מצטלבות כאשר הקלט הוא ( frac {9} {4} ).

לאחר מכן נוכל למצוא את ערך הפלט של נקודת הצומת על ידי הערכת אחת הפונקציות בכניסה זו.

[ begin {align} j Big ( dfrac {9} {4} Big) & = 5- dfrac {9} {4} & = dfrac {11} {4} end {align } ]

קווים אלה מצטלבים בנקודה ( Big ( frac {9} {4}, frac {11} {4} Big) ).

אָנָלִיזָה

אם מסתכלים על איור ( PageIndex {25} ), תוצאה זו נראית סבירה.

אם היינו מתבקשים למצוא את נקודת החיתוך של שני קווים מקבילים מובחנים, האם משהו בתהליך הפיתרון צריך להתריע בפנינו שאין פתרונות?

כן. לאחר קביעת שתי המשוואות שוות זו לזו, התוצאה תהיה הסתירה " (0 = text {non-zero number real number} )".

תרגיל ( PageIndex {7} )

עיין בתרשים באיור ( PageIndex {23} ) וזהה את הפונקציה הבאה עבור (j (t): )

  1. יירוט y
  2. יירוט (ים)
  3. מִדרוֹן
  4. האם (j (t) ) מקביל או מאונך ל- (h (t) ) (או לא)?
  5. האם (j (t) ) פונקציה עולה או יורדת (או לא)?
  6. כתוב תיאור טרנספורמציה עבור (j (t) ) מהפונקציה של ערכת כלי הזהות (f (x) = x ).
תשובה
  1. ((0,5))
  2. (5, 0)
  3. שיפוע -1
  4. לא מקביל ולא ניצב
  5. הפחתת תפקוד
  6. בהתחשב בפונקציית הזהות, בצע היפוך אנכי (מעל ציר t) והזז למעלה 5 יחידות.

דוגמא ( PageIndex {13} ): מציאת נקודת שוויון

חברה מוכרת קסדות ספורט. לחברה עלות קבועה חד פעמית בסך 250,000 דולר. כל קסדה עולה 120 דולר לייצור ונמכרת ב -140 דולר.

  1. מצא את פונקציית העלות, (C ), לייצור קסדות (x ), בדולרים.
  2. מצא את פונקציית ההכנסות, (R ), ממכירות קסדות (x ), בדולרים.
  3. מצא את נקודת השוויון, נקודת החיתוך של שני הגרפים (C ) ו- (R ).

פִּתָרוֹן

א. פונקציית העלות בסך העלות הקבועה, 125,000 $, והעלות המשתנה 120 $ לקסדה.

(C (x) = 120x + 250,000 )

ב. פונקציית ההכנסות היא סך ההכנסות ממכירת קסדות (x ), (R (x) = 140x ).

ג. נקודת האיזון היא נקודת החיתוך של גרף פונקציות העלות וההכנסה. כדי למצוא את קואורדינטת ה- x של צמד הקואורדינטות של נקודת החיתוך, הגדר את שתי המשוואות שוות ופתור עבור (x ).

[ התחל {align *} C (x) & = R (x) 250,000 + 120x & = 140x 250,000 & = 20x x & = 12,500 end {align *} ]

כדי למצוא (y ), הערך את ההכנסה או את פונקציית העלות על 12,500.

[ begin {align *} R (20) & = 140 (12,500) & = 1,750,000 $ end {align *} ]

נקודת האיזון היא ((12,500,1,750,000) ).

אָנָלִיזָה

המשמעות היא שאם החברה מוכרת 12,500 קסדות, הן נשברות; הן המכירות והן העלויות שנגרמו עמדו על 1.75 מיליון דולר. ראה איור ( PageIndex {26} ).

מושגי מפתח

  • ניתן לתאר פונקציות ליניאריות על ידי התוויית נקודות או באמצעות יירוט y ומדרון.
  • ניתן לשנות גרפים של פונקציות ליניאריות באמצעות משמרות למעלה, למטה, שמאלה או ימינה, כמו גם באמצעות מתיחות, דחיסות והשתקפויות.
  • ניתן להשתמש ביירוט y ובשיפוע של קו כדי לכתוב את משוואת השורה.
  • יירוט ה- x הוא הנקודה בה הגרף של פונקציה לינארית חוצה את ציר ה- X.
  • שורות אופקיות נכתבות בצורה, (f (x) = b ).
  • קווים אנכיים נכתבים בצורה, (x = b ).
  • לקווים מקבילים יש שיפוע זהה.
  • לקווים בניצב יש שיפועים הדדיים שליליים, בהנחה שאף אחד מהם אינו אנכי.
  • קו מקביל לקו אחר, העובר בנקודה נתונה, ניתן למצוא על ידי החלפת ערך השיפוע של הקו וערכי x ו- y של הנקודה הנתונה במשוואה, (f (x) = mx + b ), ומשתמשים ב- (b ) שמתקבל. באופן דומה, ניתן להשתמש גם בצורת נקודת שיפוע של משוואה.
  • קו הניצב לקו אחר העובר בנקודה נתונה, עשוי להימצא באותו אופן, למעט שימוש במדרון ההדדיות השלילי.
  • ניתן לפתור מערכת של משוואות ליניאריות שקובעות את שתי המשוואות שוות זו לזו ופותרות עבור (x ). ניתן למצוא את ערך y על ידי הערכת אחת מהמשוואות המקוריות באמצעות ערך x זה.
  • ניתן לפתור מערכת משוואות ליניאריות גם על ידי מציאת נקודת החיתוך בגרף.

מילון מונחים

קו אופקי
שורה המוגדרת על ידי (f (x) = b ), כאשר (b ) הוא מספר ממשי. השיפוע של קו אופקי הוא 0.

קווים מקבילים
שני קווים או יותר בעלי שיפוע זהה

קווים בניצב
שתי קווים המצטלבות בזווית ישרה ויש להם שיפועים שהם הדדיות שליליות זה מזה

קו אנכי
שורה המוגדרת על ידי (x = a ), כאשר a הוא מספר ממשי. שיפוע קו אנכי אינו מוגדר.

יירוט x
הנקודה בגרף של פונקציה לינארית כאשר ערך הפלט הוא 0; הנקודה בה הגרף חוצה את הציר האופקי


8.2.2 רצפים ומגברים פונקציות לינאריות

ייצג פונקציות לינאריות באמצעות טבלאות, תיאורים מילוליים, סמלים, משוואות וגרפים המתורגמים מייצוג אחד למשנהו.

זיהוי מאפיינים גרפיים של פונקציות לינאריות כולל שיפועים ויירוטים. דע כי השיפוע שווה לקצב השינוי, וכי yיירוט הוא אפס כאשר הפונקציה מייצגת יחס פרופורציונלי.

זהה כיצד המקדם משתנה במשוואה f (איקס) = מקס + ב להשפיע על הגרפים של פונקציות ליניאריות. דע כיצד להשתמש בטכנולוגיית גרפים לבחינת ההשפעות הללו.

ייצג רצפי חשבון באמצעות משוואות, טבלאות, גרפים ותיאורים מילוליים והשתמש בהם כדי לפתור בעיות.

לדוגמה: אם בחורה מתחילה עם חסכון של 100 דולר ומוסיפה 10 דולר בסוף כל חודש, יהיו לה 100 + 10איקס דולר אחרי איקס חודשים.

ייצג רצפים גיאומטריים באמצעות משוואות, טבלאות, גרפים ותיאורים מילוליים והשתמש בהם לפתרון בעיות.

לדוגמה: אם ילדה תשקיע 100 דולר בריבית שנתית של 10%, יהיו לה 100 (1.1 איקס ) דולר אחרי איקס שנים.

סקירה כללית

תקן 8.2.2 הבנות חיוניות

בתקן זה, חיוני שתלמידים יוכלו לעבור בצורה נזילה בין ייצוגים שונים של פונקציות ליניאריות. התלמידים עוברים מלמידה קודמת שלהם של קשרים לינאריים שהם פרופורציונליים לכל הפונקציות הלינאריות. טבלאות, גרפים ומשוואות משמשים למציאת ולפרש פתרונות לסיטואציות לינאריות בעולם האמיתי. כאשר התלמידים מזהים סיטואציה כליניארית, חיוני שהם מסוגלים לזהות ולהפוך משמעות למדרון וליירט y. התלמידים יכולים להבין יותר אודות לינארית כאשר הם משווים פונקציה לינארית לפונקציות אחרות. כאשר התלמידים בוחנים פונקציות אחרות כגון פונקציות הפוכות ואקספוננציאליות, חשוב שהטבלאות, הגרפים, המשוואות והמצבים מושווים באופן רציף למה שהם יודעים על פונקציות ליניאריות.

כל המדדים הסטנדרטיים

8.2.2.1 ייצג פונקציות לינאריות באמצעות טבלאות, תיאורים מילוליים, סמלים, משוואות וגרפים המתורגמים מייצוג אחד למשנהו.

8.2.2.2 זיהוי מאפיינים גרפיים של פונקציות לינאריות כולל שיפועים ויירוטים. דע כי השיפוע שווה לקצב השינוי, וכי yיירוט הוא אפס כאשר הפונקציה מייצגת יחס פרופורציונלי.

דוגמא: הקואורדינטות המשמשות לקביעת שיפוע חייבות להכיל ערכים שלמים.

8.2.2.3 זהה כיצד המקדם משתנה במשוואה f (איקס) = מקס + ב להשפיע על הגרפים של פונקציות ליניאריות. דע כיצד להשתמש בטכנולוגיית גרפים לבחינת ההשפעות הללו.

8.2.2.4 ייצג רצפי חשבון באמצעות משוואות, טבלאות, גרפים ותיאורים מילוליים והשתמש בהם כדי לפתור בעיות.

דוגמא: אם ילדה מתחילה עם חסכון של 100 דולר ומוסיפה 10 דולר בסוף כל חודש, יהיו לה 100 + 10איקס דולר אחרי איקס חודשים.

8.2.2.5 ייצג רצפים גיאומטריים באמצעות משוואות, טבלאות, גרפים ותיאורים מילוליים והשתמש בהם לפתרון בעיות.

דוגמא: אם ילדה תשקיע 100 דולר בריבית שנתית של 10%, יהיו לה 100 (1.1 איקס ) דולר אחרי איקס שנים.

8.2.2 רצפים ופונקציות

8.2.2.1 ייצג פונקציות לינאריות באמצעות טבלאות, תיאורים מילוליים, סמלים, משוואות וגרפים המתורגמים מייצוג אחד למשנהו.

8.2.2.2 זיהוי מאפיינים גרפיים של פונקציות לינאריות כולל שיפועים ויירוטים. דע כי השיפוע שווה לקצב השינוי, וכי yיירוט הוא אפס כאשר הפונקציה מייצגת יחס פרופורציונלי.

דוגמא: הקואורדינטות המשמשות לקביעת שיפוע חייבות להכיל ערכים שלמים.

8.2.2.3 זהה כיצד המקדם משתנה במשוואה f (איקס) = מקס + ב להשפיע על הגרפים של פונקציות ליניאריות. דע כיצד להשתמש בטכנולוגיית גרפים לבחינת ההשפעות הללו.

8.2.2.4 ייצג רצפי חשבון באמצעות משוואות, טבלאות, גרפים ותיאורים מילוליים והשתמש בהם כדי לפתור בעיות.

דוגמא: אם ילדה מתחילה עם חסכון של 100 דולר ומוסיפה 10 דולר בסוף כל חודש, יהיו לה 100 + 10איקס דולר אחרי איקס חודשים.

8.2.2.5 ייצג רצפים גיאומטריים באמצעות משוואות, טבלאות, גרפים ותיאורים מילוליים והשתמש בהם לפתרון בעיות.

דוגמא: אם ילדה תשקיע 100 דולר בריבית שנתית של 10%, יהיו לה 100 (1.1 איקס ) דולר אחרי איקס שנים.

מה שהסטודנטים צריכים לדעת ולהיות מסוגלים לעשות [ברמת שליטה] הקשורים למדדים הבאים:

  • זיהוי קשרים לינאריים כפי שהם באים לידי ביטוי במגוון פורמטים
  • בהינתן צורה אחת של פונקציה לינארית, כגון טבלה, מילים, משוואה או גרף, תוכל להעביר לכל צורה אחרת
  • זהה את השיפוע ואת ה- y-intercept של פונקציה לינארית
  • פרש את השיפוע ואת ה- y-intercept בהקשר למצב הנתון
  • דע כיצד שינוי המקדם משנה את הקו בתרשים
  • דע כיצד לפתור מצב פרופורציונלי באופן שונה מפונקציה לינארית שאינה פרופורציונלית
  • התלמידים צריכים להיות מסוגלים לתאר את התבנית של רצף על ידי ציון מה שנוסף שוב ושוב או מוכפל ברצף
  • התלמידים צריכים להיות מסוגלים לחבר את הרצף לפונקציה המייצגת את הרצף
  • התלמידים יוכלו לתרגם בין המשוואה, הטבלה, הגרף והתיאורים המילוליים של הרצפים
  • על התלמידים ליצור את הקשר בין רצפי חשבון ופונקציות לינאריות, כמו גם רצפים גיאומטריים ופונקציות אקספוננציאליות
  • התלמידים יוכלו להשתמש בייצוגים השונים של רצפים אריתמטיים / גיאומטריים כדי לפתור בעיות.

עבודה מכיתות קודמות שתומכות בלמידה חדשה זו כוללת:

  • לדעת לייצג קשרים פרופורציונליים עם טבלאות, תיאורים מילוליים, סמלים, משוואות וגרפים
  • דע כיצד לחשב את קבוע המידתיות (קצב יחידה או שיפוע) בהתחשב ביחס פרופורציונלי
  • שימוש במעריכים ובצורה מעריכית
  • להבין פונקציות ליניאריות (משוואות, טבלאות, גרפים).
    דפוסים, יחסים ופונקציות:
  • מייצגים, מנתחים ומכלילים מגוון דפוסים בעזרת טבלאות, גרפים, מילים, וככל שניתן - כללים סימבוליים
  • התייחס והשווה צורות שונות של ייצוג לזוגיות
  • זהה פונקציות כליניאריות או לא ליניאריות וניגוד לתכונותיהן מטבלאות, גרפים או משוואות.
    ומצבים ומבנים אנליזמטמטיים המשתמשים בסמלים אלגבריים:
    • חקור קשרים בין ביטויים סימבוליים וגרפים של קווים, תוך שימת לב מיוחדת למשמעות של יירוט ושיפוע
    • השתמש באלגברה סמלית כדי לייצג מצבים ולפתור בעיות, במיוחד כאלו הכרוכות בקשרים ליניאריים. מודלים מתמטיים לייצוג והבנת קשרים כמותיים:
    • דגם ופתור בעיות בהקשר באמצעות ייצוגים שונים, כגון גרפים, טבלאות ומשוואות.
      שינוי בהקשרים שונים:
    • השתמש בגרפים כדי לנתח את אופי השינויים בכמויות ביחסים ליניאריים.

    תקני מדינת ליבה נפוצים (CCSS)

    • 8.F (פונקציות) הגדר, הערך והשווה פונקציות.
      • 8.F.2. השווה מאפיינים של שתי פונקציות המיוצגות כל אחת בצורה שונה (אלגברית, גרפית, מספרית בטבלאות או על ידי תיאורים מילוליים). לדוגמה, בהינתן פונקציה לינארית המיוצגת על ידי טבלת ערכים ופונקציה לינארית המיוצגת על ידי ביטוי אלגברי, קבעו לאיזו פונקציה קצב השינוי הגדול יותר.
      • 8.F.4. בנה פונקציה לדגם קשר לינארי בין שתי כמויות. קבע את קצב השינוי והערך ההתחלתי של הפונקציה מתוך תיאור של מערכת יחסים או משניים (x, yערכים, כולל קריאת אותם מטבלה או מגרף. פרש את קצב השינוי והערך ההתחלתי של פונקציה לינארית מבחינת המצב שהיא מדגמנת, ומבחינת הגרף שלה או טבלת ערכים.
      • 8.EE.5. גרף יחסים פרופורציונליים, תוך פירוש קצב היחידה כשיפוע הגרף. השווה בין שני יחסים פרופורציונליים שונים המיוצגים בדרכים שונות. לדוגמה, השווה גרף זמן-זמן למשוואת מרחק-זמן כדי לקבוע לאיזה משני אובייקטים נעים מהירות גדולה יותר.
      • F-LE.2 בנה פונקציות ליניאריות ואקספוננציאליות, כולל רצפים אריתמטיים וגיאומטריים, בהינתן גרף, תיאור של מערכת יחסים או שני זוגות קלט-פלט (כולל קריאת אלה מהטבלה).

      תפיסות מוטעות

      • כאשר ניתן ייצוג לטבלה של פונקציה לינארית כאשר זוג הכניסה הראשון של הטבלה אינו "מתי איקס = 0, "התלמידים נותנים לפעמים את הראשון y ערך שניתן כ yיירוט ולא את yערך משויך ל איקס = 0.
      • בעת חישוב שיפוע מגרף, התלמידים לא ישימו לב לפעמים ל"כיוון "העלייה או לריצה שלעתים יגרמו לסימן המדרון להיות שגוי.
      • כאשר ניתנת טבלה שאין בה ערכי x עוקבים, התלמידים יחשבו לפעמים את המדרון שגוי. הם ישימו לב רק לשינוי ב- y.
      • התלמידים מתבלבלים לגבי איזה ערך הוא yיירוט ברצף.
      • לעיתים התלמידים קופצים למסקנות ומנסים לקבוע את דפוס הרצף על ידי התבוננות בשני המונחים הראשונים בלבד. זה מוביל את התלמידים לפעמים לטעות ברצף חשבון ברצף גיאומטרי (או להיפך) ואז לחזות מונחים שגויים. לדוגמה, 1, 4 יכול להיות רצף חשבון (1, 4, 7, 10.) או רצף גיאומטרי (1, 4, 16, 64.).
      • ברצפים גיאומטריים כגון 16, 8, 4, 2. התלמידים ירצו לומר שהתבנית מחולקת ב -2 במקום להכפיל ב 0.5.

      וינטה

      בתמונה זו התלמידים משתמשים ברצף דמויות של משולשי קיסם ובטבלת מספרים כשתי דרכים לקביעת ביטוי אלגברי.

      מוֹרֶה: היום אנחנו הולכים לעבוד עם תבניות ולראות מה יבוא בהמשך.

      התבונן בדפוס הדמויות הזה. מי הגיע לבוא ללוח ולצייר איך לדעתם הדמות הרביעית תיראה ולהסביר את התהליך.

      סטוּדֶנט: אני יכול, זה קל. (התלמיד מצייר את הדמות הרביעית). כל שעלינו לעשות הוא להוסיף משולש אחד נוסף כך שיהיה שלוש קיסמים, אך אחד הצדדים יחפוף כך שאגרע אחד.

      סטוּדֶנט: חשבתי על זה בצורה אחרת. חשבתי שכל דמות מוסיפה משולש אבל בגלל שקו אחד כבר שם אני צריך רק שניים כדי ליצור את המשולש.

      מוֹרֶה: אז מי צודק?

      סטוּדֶנט: אני חושב ששניהם צודקים מכיוון שבעצם שניהם מוסיפים שני קיסמים בכל פעם כדי לקבל את הנתון הבא.

      מוֹרֶה: אז בואו נגיד את זה בנ מציין את מספר התיבה התשיעי. לדוגמה, ב3 = 7 מכיוון שבאיור שלוש יש 7 קיסמים. בואו נראה אם ​​נוכל למצוא איזושהי משוואה שתייצג את הדפוס הזה.

      תנו לתלמידים לעבוד קצת לבד.

      סטוּדֶנט: אני חושב שזה y = איקס + 2.

      מוֹרֶה: אני יודע שאתה כנראה רגיל להשתמש y = אבל כאן נשתמש בסימון שונה ונשתמש ב- bn ו- n כמשתנים שלנו. ובואו ננסה את המשוואה שלך: בנ = נ 2. אז באיור 3, נ = 3. החלף זאת למשוואה ו בנ = 5, האם זה מה שהיינו אמורים לקבל?

      סטוּדֶנט: לא, היינו צריכים לקבל 7. אני מבין מדוע הוא משתמש ב- 2 במשוואה שלו מכיוון שהתבנית מוסיפה שניים, אבל אני חושב ש- n צריך להכפיל ב- 2 במקום להוסיף ל- 2.

      סטוּדֶנט: אז אתה חושב שהמשוואה היא בנ = 2נ? אבל אם אני מחבר 3 כמו בפעם הקודמת, אני מקבל 6 והיינו צריכים לקבל 7. מה אם נגיד בנ = 2נ + 1? האם זה יצליח עבור כולם?

      מוֹרֶה: ובכן, בואו ננסה אחת. מה לגבי איור 5? כמה קיסמים יהיו שם?

      סטוּדֶנט: פשוט הכנתי אותו, ובאיור 5 היו 11 קיסמים. וזה עבד במשוואה בנ = 2נ + 1.

      סטוּדֶנט: המשוואה שהמצאתי עובדת, אבל היא לא זהה לשלך. אני אמרתי את זה בנ = 2(נ - 1) + 3. עשיתי את זה כי היו לי שלוש קיסמים בדמות הראשונה ואז המשכתי להוסיף על שניים לכל דמות אחרי זה. וזה עובד. חיברתי 5 עבור נ ו בנ = 11.

      מוֹרֶה: יכול להיות ששניהם יעבדו?

      המורה לוקח את הזמן הזה לבקר מחדש בנכס ההפצה אם התלמידים לא תפסו מיד.

      סטוּדֶנט: אני חושב ששניהם עובדים כי אם אתה מפשט את המשוואה השנייה, בסופו של דבר זהה לזה הראשון.

      מוֹרֶה: בסדר, עכשיו בואו נסתכל על בעיה אחרת ללא הציור. כאן המידע ניתן בטבלה.

      סטוּדֶנט: אז עם זה, באיור 2 יש 11 קיסמים ובאיור 5 יש 23?

      מוֹרֶה: כן, זה מה שהטבלה הזו אומרת. בדוק אם תוכל להבין את המספרים החסרים בטבלה.

      המורה נותן לתלמידים זמן לעבוד.

      סטוּדֶנט: ובכן, שמתי לב שהשינוי היה 4.

      מוֹרֶה: איך ידעת את זה?

      סטוּדֶנט: האם זה לא מובן מאליו?

      מוֹרֶה: ובכן, לא עבור חלקם. אתה יכול להיות קצת יותר ספציפי?

      סטוּדֶנט: ובכן, המספר התחתון עלה 12 כאשר המספר העליון התחלף 3, כך ש 12/3 שווה +4 לכל שינוי.


      מוֹרֶה: שינוי זה הוא רצף של מספרים שקצב השינוי הקבוע נקרא ההבדל הנפוץ. אז אני שומע אותך אומר את זה

      סטוּדֶנט: אז בפעם האחרונה עם ציור התמונה של קיסמים, המשוואה הייתה bנ = 2n + 1, וההבדל הנפוץ היה 2, הנה זה 4?

      מוֹרֶה: כן, אז מאיפה הגיע ה- 1 במשוואה האחרונה ומה יהיה צריך להיות במקומו לטבלה זו?

      סטוּדֶנט: שמתי לב בעבר שאם היינו הולכים אחורה ומציירים דמות 0 היה קיסם אחד. יכול להיות שזה מה שקורה?

      מוֹרֶה: ובכן, בואו ננסה את זה. אם היינו הולכים לאן n = 0 בטבלה איזה ערך יהיה שם?

      סטוּדֶנט: אני חושב שהמספר במקום 0 צריך להיות 3. אז המשוואה תהיה אנ = 3 + 4נ?

      סטוּדֶנט: אני חושב שהיא צודקת. זה עובד עבור n = 5. 3 + 4 * 5 שווה 23. בעיקרון אני חושב שאתה מתחיל עם 3 ולוקח נ צעד קדימה ב -4 קיסמים בכל צעד. זה נותן לנו אנ = 3 + 4נ.

      הערה: התלמידים בעצם גזרו את נוסחת השיפוע ומצאו את משוואת השורה שקיבלה שתי נקודות. כל שנותר לעשות הוא להפוך את הידע אודות רצפים לתיקון שפה של משוואות ליניאריות.

      אֶמְצָעִי

      • סטודנטים עשויים להזדקק לתמיכה בפיתוח נוסף של מושגים ומיומנויות שנחקרו בעבר.
      • חשוב שהתלמידים יוכלו לתרגם בין כל הייצוגים של פונקציה. בכל פעם שתלמידים עובדים עם סיטואציה, עליהם ליצור קשרים בין שפת ההקשר, שפת המתמטיקה, הטבלה, הגרף והמשוואה. כאשר מקבלים ייצוג אחד, התלמידים צריכים ליצור כל הזמן את הייצוגים האחרים של אותה פונקציה.

      • מרבית תכניות הלימודים לא יטפלו ברצפים חשבון וגיאומטריים. הם יתייחסו לפונקציות ליניאריות ואקספוננציאליות. התקן מרמז על ידע בפונקציה מעריכית, אך לעולם אינו קובע במפורש "אקספוננציאלי". חיוני לתלמידים ללמוד כיצד לכתוב משוואות, ליצור טבלאות וגרפים עבור פונקציות אקספוננציאליות, וליצור קשר לרצפים גיאומטריים.
      • התלמידים צריכים להבין שקצב השינוי / השיפוע הוא מה שהמשתנה (פלט) משתנה כאשר המשתנה הבלתי תלוי (קלט) משתנה באחד. הזכר לתלמידים לא רק להסתכל על מה yערך משתנה על ידי, אבל גם מה איקס-ערך שינויים בטבלה. ציין שלפעמים כדי להעריך באמת אם התלמידים מבינים את המושג פונקציות ליניאריות או לא, כותבי השאלה יבצעו שאלת מבחן היכן שיש קשר ליניארי, אך איקסהערך אינו משתנה בכמות קבועה ולכן קשה להבחין בין ליניארי לעומת לא ליניארי רק על ידי בחינת ה- y ערכים. לכן חשוב לחשוף את התלמידים לטבלאות שלא תמיד מסודרות ו / או גדלות בערך קבוע. זה גורם לתלמידים למעשה לחשוב על שיפוע ולא רק להניח שיפוע על ידי התבוננות בדפוסים. לדוגמה:
      • בעת המרת רצף לפונקציה, מקובל שהמשתנה הבלתי תלוי הוא מיקום המספר ברצף. לכן הערך הראשון ייחשב כמונח הראשון. על מנת למצוא את y-יירט, התלמידים צריכים לעבוד אחורה כדי למצוא את המונח הקודם. לדוגמה, אם הרצף הוא 3, 5, 7, 9. yיירוט יהיה 1.
      • כדי להמיר מרשימת רצפים לטבלה, בקשו מהתלמידים לתייג את העמודה הראשונה "מונח" ואת העמודה השנייה כ"ערך ".
      • כמה ספרים / משאבים במתמטיקה מראים כיצד למצוא את נמונח ברצף חשבוני באמצעות הנוסחה אנ = א0 + (נ - 1)ד. התנאי אנ הוא ערך המונח אותו אנו מחפשים, א0 הוא הקדנציה הראשונה, נ האם המונח מחושב ו ד הוא ההבדל הנפוץ. ספרי מתמטיקה אחרים יכוונו את התלמידים למצוא את ערך המונח האפס (yליירט) ולהשתמש y = mx + b. במשוואה זו, y הוא המונח ערך שאנו מחפשים, M הוא ההבדל הנפוץ (שיפוע), איקס האם מספר המונח מחושב ו ב הוא ערך המונח "אפס".
      • חקר הרצפים מניח את הבסיס למשוואות ליניאריות. מציאת הדפוסים ברצפי חשבון והשימוש בהם למציאת המונחים הבאים ברצף מכין את התלמידים למציאת שיפוע של קו.
      • כאשר התלמידים מוצאים את שיפוע הקו, עודדו אותם לחזור לגרף ולראות אם הקו גדל או יורד. זה יעזור להם להימנע מביצוע שגיאת סימן במדרון.
      • שיעור זה משווה דפוסים ליניאריים לתבניות אקספוננציאליות:

      נניח שמציעים לך שתי שיטות אלה בתשלום עבור 30 ימי עבודה.

      • תוכנית 1 - אתה מקבל 1000 דולר ביום הראשון, ועל כל יום שלאחר מכן, אתה מקבל 100 דולר יותר מיום קודם. המשמעות היא שביום השני מקבלים 1100 $, ביום 3 מקבלים 1200 $ וכן הלאה. זה נמשך 30 יום.
      • תוכנית 2 - אתה מקבל 1 דולר ביום הראשון, ועל כל יום שלאחר מכן, השכר שלך מכפיל את עצמו. המשמעות היא שביום השני מקבלים 2 דולר, ביום 3 מקבלים 4 דולר וכן הלאה. זה נמשך 30 יום.
      • בלי לעשות שום חישוב, איזו תוכנית נשמעת טוב יותר? אתה חושב שזה יהיה הרבה יותר טוב או קצת יותר טוב?
      • לאחר שבחרת מראש, עבוד עם הקבוצה שלך כדי לחשב ולהשוות את הרווחים בשתי התוכניות. להחליט כיצד להציג את המידע ולדווח על מסקנות.
      • לאחר מכן מוצעות לך שתי תוכניות נוספות.
      • תוכנית 3 - אתה מקבל 1000 דולר ביום הראשון, ועל כל יום שלאחר מכן אתה מקבל עוד 1000 דולר. איך התוכנית הזו משתווה לתכניות 1 & amp 2?
      • תוכנית 4 - אתה מקבל 1000 דולר ביום הראשון, ועוד 10,000 דולר עבור כל יום שלאחר מכן. איך התוכנית הזו משתווה לתוכניות האחרות?
      • איך היית מדרג את ארבע התוכניות מהטובות לגרועות? אילו משתנים עשויים להשפיע על סדר הרשימה שלך?
      • כיצד הדירוג שלך משתנה אם מספר הימים משתנה? (בחן פחות ימים וגם יותר ימים.)
      • פעילות זו תעזור לתלמידים ללמוד להעריך את המושג צמיחה גיאומטרית וכיצד הוא שונה מצמיחה לינארית.
      • הניחושים הראשוניים יכולים להישמר פרטיים או לדון בהם. תן לתלמידים לבחור אם לשתף את הניחושים שלהם.
      • קבוצות עשויות לרצות להשתמש במחשבונים או במחשבוני גרפים או במחשב כדי לסייע בארגון והצגת ההשוואות שלהם בין שתי התוכניות.
      • עודד קבוצות לכתוב משוואות כדי לייצג את מה שהם רואים קורה.
      • שאל שאלות כגון:
        • איזו תוכנית עדיפה אם העבודה תסתיים פתאום אחרי 5 ימים? 10 ימים? 15 ימים? 20 ימים?
        • באיזו נקודה "התוכנית הטובה ביותר" משתנה מתוכנית אחת לאחרת? מה קורה עם הגרפים באותה נקודה?
        • אילו גורמים - פרט לבחירת תוכנית השכר שמניבה הכי הרבה כסף - משפיעים על בחירת התוכנית שלך?

        הותאם ממסמך 97 המסגרות.

        בעיה נפוצה כאשר תלמידים לומדים על משוואת יירוט השיפוע y = מקס + ב היא שהם מחליפים מכנית עבור M ו ב בלי להבין את משמעותם. שיעור זה נועד לספק לתלמידים שיטה להבנת זאת M הוא קצב של שינוי ו ב הוא הערך מתי איקס = 0. פעילות קינסטטית זו מאפשרת לתלמידים ליצור פרשנות פיזית של המדרון yיירוט על ידי ריצה על פני מגרש כדורגל. התלמידים יוכלו למלל את משמעות המשוואה כדי לחזק את ההבנה ולגלות ששיפוע (או קצב תנועה) זהה לכל קבוצות הנקודות בהינתן מערך נתונים עם קשר ליניארי.

        משאבי הוראה נוספים

        קשרים לינאריים: טבלאות, משוואות וגרפים
        אתר זה מציע רעיונות טובים המדגמים נתונים לינאריים בעולם האמיתי באמצעות טבלאות, גרפים, כללים וביטויים.

        מחוון שיפוע
        פעילות זו מאפשרת לתלמידים או למורים להזיז מחוון כדי לבחון מה קורה לגרף של פונקציה לינארית אם משתנה המדרון או אם משתנה יירוט ה- y.

        משאבים לתפקוד לינארי
        אתר זה מספק רשימה של משאבים לשימוש המתמקדים בייצוג פונקציות לינאריות. זה כולל את החיבור למוקדי NCTM בכיתה ח '.

        השפעות של שינוי שיפוע או יירוט y

        מחשבון TI-83/84 ופעילות ניווט זו בוחנים את ההשפעות על הגרף של שינוי המקדם או הקבוע במשוואה ליניארית.

        מתמטיקה בעולם האמיתי באמת!
        שיעור זה מעסיק את התלמידים בדיון ובחקר רלוונטי של פונקציות לינאריות על בסיס עלות האייפד. הערות מורים ודפי תלמידים כלולים.

        פונקציה לינארית: פונקציה שהכלל שלה יכול להיכתב בצורה f(איקס) = מקס + ב איפה M ו ב הם מספרים אמיתיים. המונח m מייצג את השיפוע ו ב מייצג את yיירוט הפונקציה. לפונקציה לינארית קצב שינוי קבוע המביא לגרף קו ישר.

        רצף חשבון: רצף מספרים של הטופס: a, a + b, a + 2b, a + 3b,. , a + (נ - 1) ב. יש מספר שמתווסף כל הזמן לכל מונח כדי לקבל את הקדנציה הבאה.
        דוגמא: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, .

        רצף גיאומטרי: רצף מספרים של הטופס: a, ar, ar 2, ar 3. ar (נ-1). כל מונח מוכפל במספר קבוע כדי לקבל את המונח הבא.
        דוגמא: 2, 4, 8, 16, 32, 64, .

        פונקציה לא לינארית: כל פונקציה שאינה עוקבת אחר דפוס ליניארי של קצב שינוי קבוע, גרף קו ישר ומשוואה של הצורה f (איקס) = מ 'איקס + ב.

        מִדרוֹן: היחס בין השינוי האנכי לשינוי האופקי של קו בגרף. שיפוע מייצג את קצב השינוי הקבוע של פונקציה לינארית. נתון שתי נקודות בשיפוע קו הוא היחס בין השינוי ב- y לשינוי ב- איקס.

        y-לעכב: הערך על yציר שבו גרף חוצה את y-צִיר.

        תְחוּם: הסט של איקס-קואורדינטות של קבוצת הנקודות בגרף את קבוצת איקס-קואורדינטות של קבוצה נתונה של זוגות מסודרים הערך שהוא הקלט בפונקציה או יחס.

        טווח: ה y-קואורדינטות של קבוצת הנקודות גם בגרף, ה y-קואורדינטות של קבוצה נתונה של זוגות מסודרים. הטווח הוא הפלט בפונקציה או ביחס.

        משתנה בלתי תלוי: משתנה שערכו קובע את ערכם של משתנים אחרים. דוגמא: בנוסחה לאזור המעגל, א = πr 2 , ר הוא המשתנה הבלתי תלוי, שכן ערכו קובע את ערך האזור (א).

        משתנה תלוי: משתנה שערכו נקבע על ידי ערך משתנה עצמאי.
        דוגמא: בנוסחה לאזור המעגל, א =πr 2 , א הוא המשתנה התלוי, שכן ערכו תלוי בערך הרדיוס (ר).

        מְקַדֵם: המספר כפול פעמים תוצר של משתנים או כוחות של משתנים במונח.

        דוגמא: 123 הוא המקדם במונח 123x 3 y.

        קָבוּעַ: מונח או ביטוי ללא משתנים.

        רצף חשבון: רצף מספרים בו ההבדל בין שני מונחים רצופים זהה. במילים אחרות, רצף חשבון מתרחש כשמוסיפים אותו מספר בכל פעם שעוברים ממונח אחד למונח הבא ברצף. מספר קבוע זה נקרא ההפרש המשותף לרצף.

        רצף גיאומטרי: רצף מספרים בו היחס בין שני מונחים רצופים זהה. במילים אחרות, מכפילים באותו מספר בכל פעם כדי לקבל את המונח הבא ברצף. מספר קבוע זה נקרא היחס המשותף לרצף.

        פונקציה מעריכית: פונקציה של הצורה y = a * b איקס כאשר a מייצג את yיירוט ו- b מייצג את גורם הצמיחה (המספר מוכפל ב).

        השתקפות - שאלות קריטיות הנוגעות להוראה ולמידה של אמות מידה אלה

        • מדוע חשוב שהתלמידים יבינו את הייצוגים האפשריים השונים של קשר לינארי: תיאור מילולי, תיאור מספרי (טבלה או קבוצה של זוגות מסודרים), תיאור גיאומטרי (גרף) ותיאור אלגברי (משוואה)? מה נקודות החוזק של כל ייצוג?
          נלקח מנקודות מוקד: התמקדות בכיתה ח ', עמ' 16.
        • מה המטרה הסופית לגרום לתלמידים לבצע פעילויות בהן הם חוקרים משוואות, שיפועים ומיירטים y? על איזה רקע קודם התלמידים מביאים לדיון הזה שאפשר לבנות עליו?
          נלקח מנקודות מוקד: התמקדות בכיתה ח ', עמ' 32
        • כיצד הפגינו התלמידים את ההבנה של החומרים שהוצגו?
        • האם התלמידים יצרו את הקשר בין שיפוע לקצב השינוי?
        • איך תקשרו התלמידים שהם מבינים את המשמעות של משוואת יירוט השיפוע?
        • מה היו כמה מהדרכים בהן המחישו התלמידים שהם מעורבים באופן פעיל בתהליך הלמידה?
        • אינטראקציה: Slope Slider. (נד). שודור: משאב לאומי לחינוך מדעי חישוב. אוחזר ב -20 ביוני 2011 ממקור זה.
        • משוואות ליניאריות של אלגברה 1. (נד). גלנקו כלי לימוד מקוונים למתמטיקה. אוחזר ב -20 ביוני 2011 ממקור זה.
        • תאורות: תנועה עם פונקציות. (נד). תאורות. אוחזר ב -20 ביוני 2011 ממקור זה.
        • תרגול אלגברה משולב A.A.34 # 1. (נד). פרויקט ג'פרסון מתמטיקה. אוחזר ב -20 ביוני 2011 ממקור זה.
        • פירוש ההשפעות של שינוי שיפוע ויירט Y. (נד). ברוך הבא לדף הקצאות האלגברה של מר ליווינגסטון. אוחזר ב -20 ביוני 2011 ממקור זה.
        • קשרים לינאריים: טבלאות, משוואות וגרפים. (נד). רשת החינוך ביוטה. אוחזר ב -20 ביוני 2011 ממקור זה.
        • עקרונות וסטנדרטים למתמטיקה בית ספרית. (2000). רסטון, וירג'יניה: המועצה הארצית למורים למתמטיקה.
        • Schielack, J. F. (2010). התמקדות בכיתה ח: הוראה עם מוקדי תוכנית הלימודים. רסטון, וירג'יניה: המועצה הארצית למורים למתמטיקה.
        • פעילויות בכיתה: TAKS: השפעות של שינוי שיפוע או יירוט Y - מכשירי טקסס - ארה"ב וקנדה. (נד). מחשבונים וטכנולוגיית חינוך מאת טקסס אינסטרומנטס - ארה"ב וקנדה. אוחזר ב -20 ביוני 2011 ממקור זה.
        • iCost: Mathalicious. (נד). מתמטיקה. אוחזר ב -20 ביוני 2011 ממקור זה.

        הערכה

        נלקח מדוגמת פריט MCA III

        נלקח מדוגמת פריט MCA III

        נלקח מחוברת הבדיקה שפורסמה מ- FCAT

        נלקח מחוברת הבדיקה שפורסמה מ- FCAT

        נלקח ממבחן הממצאים המקיף של מסצ'וסטס

        נלקח ממבחן TAKS של טקסס 2009

        נלקח ממבחן TAKS של טקסס 2009

        נלקח מדוגמת פריטים MCA III של מינסוטה

        נלקח מדוגמת פריטים MCA III של מינסוטה

        נלקח ממבחן המבדקים המקיף של מסצ'וסטס

        נלקח ממסצ'וסטס הערכה מקיפה

        המסמכים הבאים כוללים שאלות הערכה לגבי אמות מידה אלה.

        בידול

        • תן לתלמידים הזדמנויות רבות לחוות את התרגום בין גרף, טבלה, משוואה ומצב. לדוגמה:
          • בצע פעילות תואמת כדי להרכיב את כל הייצוגים של אותה פונקציה. השתמש בטבלה כדי לארגן. ואז השווה את הצורות השונות.
          • השתמש בסרטון כדי להזכיר לתלמידים צעדים לתרגום מייצוג אחד למשנהו.
          • השתמש בשותפים לתיאור התהליך שלהם.
          • תן לתלמידים הזדמנויות רבות לחוות את התרגום בין גרף, טבלה, משוואה ומצב. לדוגמה:
          • השתמש בטבלה כדי להציג מספר פונקציות לינאריות בכל הצורות השונות.
          • השתמש בסרטון כדי להזכיר לתלמידים צעדים לתרגום מייצוג אחד למשנהו.
          • השתמש בשותפים לתיאור התהליך שלהם.
          • עיין במגזינים או בקטלוגים כדי למצוא דוגמאות בעולם האמיתי לשיפוע ולפונקציות לינאריות. השווה את הדוגמאות.
          • תסתכל על משפחות של פונקציות. לדוגמה, לתת לתלמידים קבוצה של שלוש פונקציות שונות שמשותפות להן. בקש מהתלמידים לדון בהשוואה בין הפונקציות זו לזו. תן לתלמידים הזדמנות להשוות משפחות מכל נציגות.
          • בקש מהתלמידים להגדיר את המילה תבנית. איפה הם רואים דפוסים בעולמם? חזור כל הזמן להבנתם את התבנית כדי לעזור להם לייצג דפוסים ליניאריים.

          ייצוג דפוסים בכמה דרכים
          קישור זה מספק כמה תכניות שיעורים מודרכות להנחיית התלמידים בתהליך ההבנה כיצד לייצג דפוסים ליניאריים (אריתמטיים). נעשה שימוש במפות ארגון רבות כולל מודל Frayer.

          • הציגו ייצוגים של מודלים לא ליניאריים, ובקשו מהתלמידים להשוות אותם למודלים ליניאריים.
          • תן לתלמידים בעיות פתוחות יותר הכוללות ייצוגים ליניאריים.
          • תאר את היתרונות והחסרונות של כל ייצוג.

          הורים / מנהל

          התלמידים הם: (רשימה תיאורית)

          המורים הם: (רשימה תיאורית)

          שימוש בטכנולוגיות גרפים כדי לבחון את ההשפעה של שינוי ערך m (מקדם) במשוואה.

          לשאול שאלות כגון:
          מה קורה עם הגרף כאשר מ 'גדול יותר?
          מה קורה לגרף כאשר מ 'קטן יותר?
          מה קורה כאשר m הוא שלילי?
          מה קורה כאשר m הוא אפס או לא מוגדר? "

          חקירה ויצירה של יותר מייצוג אחד של כל פונקציה לינארית שהם חוקרים.

          הצבת התלמידים במצבים בהם עליהם להשתמש בייצוגים מרובים של פונקציות כדי לפתור בעיות.

          שימוש במצבים קונקרטיים של העולם האמיתי כדי לחקור את המשמעות של פונקציות לינאריות.

          חשיפת התלמידים למגוון טבלאות שלא תמיד יש ערכי x שעולים באחת או משתנים בכמות קבועה.

          עבודה עם מגוון רצפים אריתמטיים וגיאומטריים וחיבורם לטבלאות, גרפים ומשוואות.

          לדרוש מהתלמידים לא רק לפתור בעיות הכרוכות בפונקציות, אלא גם להצדיק את הפתרונות שלהם.


          הגדר גרף של משוואה לינארית

          אנו מבינים שלכל משוואה לינארית במשתנה אחד יש פיתרון ייחודי. ואז, מה לגבי הפתרון של משוואה לינארית הכוללת שני משתנים? אם ישנם שני משתנים במשוואה, פתרון כולל זוג ערכים, אחד עבור (x ) ואחד עבור (y ) העומדים במשוואה הנתונה.

          כאשר אנו לוקחים (x = 0 ), נקבל (y = 0 ), ולכן ((0, , 0) ) הוא הפתרון של המשוואה. כאשר אנו לוקחים (x = 4 ), נקבל (y = & # 8211 2 ), לכן ((4, , & # 8211 2) ) הוא הפתרון של המשוואה. כאשר אנו לוקחים (x = 6 ), נקבל (y = & # 8211 3 ), ולכן ((6, , & # 8211 3) ) הוא הפתרון של המשוואה.

          לכן, אין סוף לפתרונות השונים של משוואה ליניארית בשני משתנים. כלומר, למשוואה ליניארית בשני משתנים יש אינסוף פתרונות.

          משוואה לינארית מיוצגת בצורה גרפית על ידי הקו שנקודותיו נותנות את אוסף הפתרונות של המשוואה. זה נקרא גרף של משוואה ליניארית.


          פונקציות לינאריות

          בהינתן כל משוואה ליניארית בצורה סטנדרטית ניתן לכתוב כל קו לא ורטיקלי בצורה סטנדרטית x + b y = c. , x + b y = c, נוכל לפתור y כדי להשיג צורה של יירוט שיפוע ניתן לכתוב כל קו לא-וורטי בצורה y = m x + b, איפה M הוא המדרון ו (0, ב) האם ה y-לעכב. , y = m x + b. לדוגמה,

          3 x - 4 y = 8 ← S tandard F orm - 4 y = - 3 x + 8 y = - 3 x + 8 - 4 y = - 3 x - 4 + 8 - 4 y = 3 4 x - 2 ← S לופ - אני חוטף את האורם

          כאשר x = 0, אנו יכולים לראות כי y = - 2 וכך (0, - 2) הוא פתרון זוגי מסודר. זו הנקודה בה הגרף מצטלב בין yציר ונקרא y-intercept הנקודה (או הנקודות) בה גרף מצטלב yציר, מבוטא כזוג מסודר (0, y). . אנו יכולים להשתמש בנקודה זו ובשיפוע כאמצעי לשרטט במהירות קו. לדוגמה, כדי לגרף את y = 3 4 x - 2, התחל ב yיירט (0, - 2) וסמן מחוץ למדרון כדי למצוא נקודה שנייה. ואז השתמש בנקודות אלה כדי לתאר את השורה באופן הבא:

          מבחן הקו האנכי מציין שגרף זה מייצג פונקציה. יתר על כן, התחום והטווח מורכבים מכל המספרים האמיתיים.

          באופן כללי, פונקציה לינארית כל פונקציה שניתן לכתוב בצורה f (x) = m x + b היא פונקציה שניתן לכתוב בצורה f (x) = m x + b L i n e a r F u n c t i o n היכן שהמדרון M ו ב מייצגים כל מספרים אמיתיים. מכיוון ש- y = f (x), נוכל להשתמש ב- y ו- f (x) לסירוגין, וניתן לכתוב פתרונות זוגיים שהוזמנו על הגרף (x, y) בצורה (x, f (x)).

          אנחנו יודעים שיש yליירוט יהיה איקס-ערך שווה לאפס. לכן, ה yניתן לבטא את היירוס כזוג שהוזמן (0, f (0)). לפונקציות ליניאריות,

          מכאן, ש yיירוט של כל פונקציה לינארית הוא (0, b). כדי למצוא את איקס-intercept הנקודה (או הנקודות) בה גרף מצטלב בין איקס-ציר, מבוטא כזוג מסודר (איקס, 0). , הנקודה בה הפונקציה חוצה את איקס-ציר, אנחנו מוצאים איקס כאשר y = 0 או f (x) = 0.

          דוגמה 3

          גרף את הפונקציה הליניארית f (x) = - 5 3 x + 6 ותייג את איקס-לעכב.

          מהפונקציה אנו רואים כי f (0) = 6 (או b = 6) וכך ה- yיירוט הוא (0, 6). כמו כן, אנו יכולים לראות כי השיפוע m = - 5 3 = - 5 3 = r i s e r u n. החל מה yיירוט, סמן נקודה שנייה למטה 5 יחידות וימין 3 יחידות. צייר את הקו העובר דרך שתי הנקודות הללו עם קו ישר.

          כדי לקבוע את איקסליירט, למצוא את איקס-ערך שבו הפונקציה שווה לאפס. במילים אחרות, קבע איקס כאשר f (x) = 0.

          f (x) = - 5 3 x + 6 0 = - 5 3 x + 6 5 3 x = 6 (3 5) 5 3 x = (3 5) 6 x = 18 5 = 3 3 5

          לכן, ה איקסיירוט הוא (18 5, 0). הכלל הוא לתייג את כל הנקודות החשובות שלא ניתן לקרוא בצורה ברורה מהגרף.

          דוגמה 4

          קבע פונקציה לינארית המגדירה את הגרף הנתון ומצא את איקס-לעכב.

          אנו מתחילים בקריאת השיפוע מהגרף. במקרה זה ניתנות שתי נקודות ואנחנו יכולים לראות את זה,

          בנוסף yיירוט הוא (0, 3) וכך b = 3. אנו יכולים להחליף למשוואה לכל פונקציה לינארית.

          g (x) = m x + b ↓ ↓ g (x) = - 2 3 x + 3

          כדי למצוא את איקסיירוט, אנו קובעים g (x) = 0 ונפתור עבור איקס.

          g (x) = - 2 3 x + 3 0 = - 2 3 x + 3 2 3 x = 3 (3 2) 2 3 x = (3 2) 3 x = 9 2 = 4 1 2

          תשובה: g (x) = - 2 3 x + 3 איקסיירוט: (9 2, 0)

          לאחר מכן שקול קווים אופקיים ואנכיים. השתמש במבחן הקו האנכי כדי לראות שכל קו אופקי מייצג פונקציה וכי קו אנכי לא.

          בהינתן כל קו אופקי, בדיקת הקו האנכי מראה כי כל איקס-ערך בתחום תואם בדיוק לאחד yערך בטווח זה פונקציה. קו אנכי, לעומת זאת, נכשל במבחן הקו האנכי זה לא פונקציה. קו אנכי מייצג קבוצה של זוגות מסודרים כאשר כל האלמנטים בתחום זהים. זה מפר את הדרישה כי פונקציות חייבות לשייך אלמנט אחד בטווח לכל רכיב בתחום. אנו מסכמים כדלקמן:


          2.2: גרפים של פונקציות לינאריות

          לאחר לימוד קטע זה, תוכל:

          1. זממו נקודה בהתחשב בקואורדינטות.

          2. שם את הקואורדינטות של נקודה מזויימת.

          3. מצא זוגות מסודרים למשוואה ליניארית נתונה.

          זומם נקודה

          דברים רבים בחיי היומיום ברורים יותר אם אנו רואים תמונה. באופן דומה, במתמטיקה נוכל לדמיין קשרים אלגבריים על ידי ציור גרף. כדי לצייר גרף, אנו זקוקים למסגרת התייחסות.

          במדריך הקודם הראינו שכל מספר אמיתי יכול להיות מיוצג בשורת מספר. עיין בשורת המספרים למטה. החץ מציין את הכיוון החיובי.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          כדי ליצור מערכת קואורדינטות מלבנית, אנו מציירים קו מספר שני אנכי. אנו בונים אותה כך שנקודת ה- 0 בכל שורה מספרים תהיה בדיוק באותו מקום. אנו מתייחסים למיקום זה כאל מָקוֹר. קו המספרים האופקי נקרא לעתים קרובות ה- ציר x. קו המספרים האנכי נקרא לעתים קרובות ה- ציר y. החצים מראים את הכיוון החיובי לכל ציר.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & amp;

          אנו יכולים לייצג נקודה במערכת קואורדינטות מלבנית זו באמצעות זוג מוזמן של מספרים. המספר הראשון של הזוג מייצג את המרחק מהמקור שנמדד לאורך האופק או הציר x.המספר השני של הצמד מייצג את המרחק שנמדד על ציר ה- y או על קו מקביל לציר ה- y. לדוגמא (5, 2) הוא זוג מסודר המייצג נקודה במערכת הקואורדינטות המלבנית.

          & emsp & emsp צמד המספרים המסודר המייצג נקודה מכונה לעתים קרובות ה-
          קואורדינטות של נקודה. הערך הראשון נקרא x- קואורדינטה. הערך השני נקרא y- קואורדינטה. אם ה- x- קואורדינטות חיוביות, אנו סופרים את מספר המשבצות המתאים ימינה (בכיוון החיובי). אם הקואורדינטה x היא שלילית, אנו סופרים שמאלה. אם הקואורדינטה y היא חיובית, אנו סופרים את מספר המשבצות הנכון כלפי מעלה (בכיוון החיובי). אם הקואורדינטה y היא שלילית, אנו סופרים כלפי מטה.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          דוגמא 1 התווה את הנקודה (5, 2) במערכת קואורדינטות מלבנית. תייג זאת כנקודה A.

          מכיוון ש- x- קואורדינטה היא 5, ראשית אנו סופרים 5 יחידות ימינה על ציר ה- x. ואז, מכיוון ש- y הקואורדינטה היא 2, אנו סופרים 2 יחידות למעלה מהנקודה בה עצרנו על ציר ה- x. זה מאתר את הנקודה המתאימה ל- (5, 2). אנו מתייגים נקודה זו א.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          חשוב לזכור שהמספר הראשון בזוג מסודר הוא הקואורדינטה x, והמספר השני הוא הקואורדינטה y. הנקודות המיוצגות על ידי (5, 2) ו- (2,5) שונות לחלוטין, כפי שנראה בדוגמה הבאה.

          דוגמא 2 התווה את הנקודה (2,5) במערכת קואורדינטות מלבנית.

          אנו סופרים 2 יחידות ימינה עבור ערך x הנקודה. לאחר מכן אנו סופרים 5 יחידות כלפי מעלה עבור ערך y של הנקודה. אנו מציירים נקודה ומתויגים אותה C במקום הצמד שהוזמן (2, 5).

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          נצפה כי נקודה C (2,5) נמצאת במיקום שונה מאוד מנקודה A (5,2) בדוגמה 1.

          דוגמה 3 זממו את הנקודות הבאות.

          נקודות אלה מתוארות באיור.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          הערה: כאשר אתה מתווה ערכים עשרוניים כמו (6.5, -7.2), שים את המיקום של הנקודה המתווה באמצע הדרך בין 6 ל- 7 עבור ה- 6.5 ובקירוב הטוב ביותר שלך בכיוון y עבור -7.2.

          קביעת הקואורדינטות של נקודה זממה

          לפעמים אנחנו צריכים למצוא את הקואורדינטות של נקודה שתוכננה. ראשית, אנו סופרים את היחידות הדרושות לנו על ציר ה- x כדי להתקרב ככל האפשר לאותה נקודה. לאחר מכן אנו סופרים את היחידות למעלה או למטה שעלינו לעבור מציר ה- x כדי להגיע סוף סוף לנקודה זו.

          דוגמה 4 איזה זוג מספרים מסודר מייצג את הנקודה A באיור למטה?

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          אנו רואים שהנקודה A מיוצגת על ידי הצמד המסודר (5,4). ספרנו תחילה 5 יחידות מימין למקור על ציר ה- x. כך אנו מקבלים 5 כמספר הראשון של הזוג שהוזמן. ואז ספרנו 4 יחידות כלפי מעלה על קו מקביל לציר ה- y. לפיכך אנו מקבלים 4 כמספר השני בזוג שהוזמן.

          דוגמה 5 כתוב את הקואורדינטות של כל נקודה שמתוכננת למטה.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          הקואורדינטות של כל נקודה הן:

          היזהר מאוד שתשים את ה- x- קואורדינטה במקום הראשון ואת ה- y- קואורדינטה. היזהר שכל שלט יהיה נכון.

          מציאת זוגות שהוזמנו למשוואה לינארית נתונה

          משוואות כגון 3x + 2y = 5 ו- 6x + y = 3 נקראות משוואות ליניאריות בשני משתנים. א משוואה ליניארית בשני משתנים היא משוואה שניתן לכתוב בצורה Ax + By = C כאשר A, B ו- C הם מספרים ממשיים אך A ו- B אינם יכולים שניהם להיות אפס. ערכי החלפה עבור x ו- y שעושים אמירות מתמטיות אמיתיות של המשוואה נקראים ערכי אמת וצמד מסודר של ערכי אמת אלה נקרא a פִּתָרוֹן.

          & emsp & emsp שקול את המשוואה 3x + 2y = 5. הזוג שהוזמן (1, 1) הוא פיתרון למשוואה. כאשר אנו מחליפים את x ב- 1 ו- y ב- 1 אנו מקבלים הצהרה אמיתית.

          יש מספר אינסופי של פתרונות, לכל משוואה ליניארית נתונה בשני משתנים.
          & emsp & emsp אנו משיגים זוגות מסודרים מבדיקת משוואה ליניארית כזו. אם ידוע על ערך אחד של זוג מסודר, ניתן להשיג את השני במהירות. לשם כך אנו מחליפים משתנה אחד במשוואה הליניארית בערך הידוע. ואז בעזרת השיטות שנלמדו בשיעור הקודם אנו פותרים את המשוואה המתקבלת עבור המשתנה האחר.

          דוגמא 6 מצא את הקואורדינטה החסרה כדי להשלים את הזוגות הבאים שהוזמנו
          המשוואה 2x + 3y = 15.

          (א) בזוג שהוזמן (0,?) אנו יודעים ש- x = 0. החלף את x ב- 0 במשוואה.

          לפיכך יש לנו את הזוג המוזמן (0, 5).

          (ב) בזוג שהוזמן (?, 1), איננו יודעים את הערך של x. עם זאת, אנו יודעים כי y = 1. אז מתחילים בהחלפת המשתנה y ב -1. נסיים עם משוואה עם משתנה אחד x. לאחר מכן נוכל לפתור את x.

          לפיכך יש לנו את הזוג שהוזמן (6, 1).

          המשוואות הליניאריות איתן אנו עובדים לא תמיד נכתבות בצורה Ax + By = C, אך לפעמים נפתרות עבור y כמו ב- y = -6x + 3. שקול את המשוואה y = -6x + 3. הזוג המוזמן (2, -9) הוא פיתרון למשוואה. כאשר אנו מחליפים את x ב- 2 ו- y ב- -9 אנו מקבלים משפט מתמטי אמיתי:

          דוגמה 7 מצא את הקואורדינטה החסרה כדי להשלים את הזוגות הבאים שהוזמנו למשוואה y = -3x + 4

          (א) עבור הזוג המוזמן (2,?) אנו יודעים ש- x הוא 2, ולכן אנו מחליפים את x ב- 2 במשוואה ופותרים את y.

          לפיכך, הפתרון הוא הזוג המוזמן השלם (2, -2).

          (ב) עבור הזוג המוזמן (-3,?) אנו מחליפים את x ב- -3 במשוואה.

          לפיכך, הפיתרון הוא הזוג המוזמן (-3, 13).

          גרפים משוואות לינאריות

          לאחר לימוד קטע זה, תוכל:

          1. גרף קו ישר על ידי מציאת שלושה זוגות מסודרים המהווים פתרונות למשוואה הליניארית.

          2. גרף קו ישר על ידי מציאת המפתחים x - ו- y שלו.

          3. גרף קווים אופקיים ואנכיים.

          רישום משוואה לינארית על ידי תכנון שלושה זוגות מסודרים

          ראינו שהגרף של זוג מסודר הוא נקודה. זוג מסודר יכול להיות גם פיתרון למשוואה ליניארית בשני משתנים. מכיוון שיש מספר אינסופי של פתרונות, יש מספר אינסופי של זוגות מסודרים ומספר אינסופי של נקודות. אם נוכל לשרטט את הנקודות הללו, נשרטט את המשוואה. איך ייראה הגרף הזה? תן ל- & rsquos להסתכל על המשוואה y = -3x + 4. כדי לחפש פתרון למשוואה, אנו יכולים לבחור כל ערך עבור x. מטעמי נוחות נבחר x = 0. כלומר, הקואורדינטה הראשונה של הזוג המוזמן תהיה 0. להשלמת הזוג המוזמן (0,), אנו מחליפים 0 ב- x במשוואה:

          לפיכך הזוג המוזמן הוא (0, 4).

          כדי למצוא זוג מסודר אחר המהווה פיתרון למשוואה y = -3x + 4, תן ל- x = 1.

          לפיכך הזוג המוזמן (1, 1) הוא פיתרון נוסף למשוואה.

          הגרף של שני הזוגות או הפתרונות שהוזמנו מוצג להלן. מגיאומטריה אנו יודעים ששתי נקודות קובעות קו. לפיכך אנו יכולים לומר שהקו המכיל את שתי הנקודות הוא הגרף של המשוואה y = -3x + 4. למעשה, הגרף של כל משוואה ליניארית בשני משתנים הוא קו ישר.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          אמנם אתה זקוק לשתי נקודות בלבד כדי לקבוע קו, אך אנו ממליצים להשתמש בשלוש נקודות לרישום משוואה. שתי נקודות לקביעת הקו ונקודה שלישית לאימות. כדי להקל על תכנון הנקודות עדיף שהזוגות המסודרים יכילו מספרים שלמים.

          דוגמא 1 מצא שלושה זוגות מסודרים העונים על 2x + y = 4. לאחר מכן גרף את הקו הישר המתקבל.

          מכיוון שאנחנו יכולים לבחור כל ערך עבור x, בחר את המספרים הנוחים. כדי לארגן את התוצאות נכין טבלת ערכים. נאפשר ל- x = 0, x = 1 ו- x = 3 בהתאמה. אנו כותבים את המספרים הללו תחת x בטבלת הערכים שלנו. עבור כל אחד מערכי x אלה, אנו מוצאים את ערך y המקביל במשוואה 2x + y = 4

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          אנו רושמים תוצאות אלו על ידי הצבת כל ערך y בטבלה לצד ערך ה- x המתאים לו. יש לזכור כי ערכים אלה מייצגים זוגות מסודרים שכל אחד מהם הוא פיתרון למשוואה. מכיוון שיש מספר אינסופי של זוגות מסודרים, אנו מעדיפים את אלו עם מספרים שלמים במידת האפשר.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & amp;

          אם נתווה את הזוגות המסודרים הללו ונחבר את שלוש הנקודות, נקבל קו ישר שהוא הגרף של המשוואה 2x + y = 4. גרף המשוואה מוצג באיור למטה.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & amp;

          דוגמא 2 גרף 5x-4y + 2 = 2.

          ראשית, אנו מפשטים את המשוואה על ידי הוספת -2 לכל צד.

          מכיוון שאנחנו חופשיים לבחור כל ערך של x, x = 0 היא בחירה טבעית. חשב את הערך של y כאשר x = 0.

          y = 0 & emsp & emsp זכור: כל מספר פעמים 0 הוא 0. מכיוון -4y = 0, y חייב להיות שווה 0.

          עכשיו בואו ו- rsquos לראות מה קורה כאשר x = 1.

          y = -5 / -4 או 5/4 & emsp & emsp זהו מספר לא קל לרישום.

          בחירה טובה יותר להחלפה של x היא מספר שמתחלק ב -4. תן ל- rsquos לראות מדוע.

          לחשוב על בדוגמה 2 בחרנו ערכים של x ומצאנו את הערכים המתאימים ל- y. גישה חלופית היא לפתור תחילה את המשוואה עבור המשתנה y. לכן

          -4y = -5x & emsp & emsp הוסף -5x לכל צד.

          (-4y) / - 4 = (-5x) / - 4 & emsp & emsp חלק את כל הצדדים ב -4.

          עכשיו בואו x = -4, x = 0 ו- x = 4, ונמצא את הערכים המקבילים של y. גרף את המשוואה.

          בשתי הדוגמאות הקודמות התחלנו לבחור ערכים עבור x. באותה מידה יכולנו לבחור ערכים עבור y.

          דוגמה 3 תרשים 3x-4y = 12.

          ראשית אנו מוצאים שלושה זוגות מסודרים על ידי בחירה שרירותית בשלושה ערכים עבור y ובכל מקרה פתרון של x. נבחר y = 0, y = 3 ו- y = -3. אתה יכול להבין מדוע?

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          רישום קו ישר על ידי תכנון יירוטים שלו

          אילו ערכים עלינו לבחור עבור x ו- y? באילו נקודות עלינו להשתמש בתכנון? עבור קווים ישרים רבים זה הכי קל לבחור את השניים מיירט . לכמה שורות יש יירוט אחד בלבד. נדון אלה בנפרד.

          דוגמה 4. גרף 5y-3x = 15 בשיטת היירוט.

          הזוג שהוזמן הוא (-5, 0), נקודת ה- x-intercept.

          הצמד שהוזמן הוא (0, 3), נקודת ה- y-intercept.

          אנו מוצאים זוג נוסף שיש לו נקודה שלישית.

          -3x = -15 & emsp & emsp מחסירים 30 משני הצדדים.

          רישום קווים אופקיים ואנכיים

          תוכלו להבחין כי ציר ה- x הוא קו אופקי. זהו הקו y = 0, שכן עבור כל x, y הוא 0. נסה כמה נקודות. (1, 0), (3, 0), (-2, 0) כולם שוכבים על ציר ה- x. כל קו אופקי יהיה מקביל לציר ה- x. קווים כגון y = 5 ו- y = 2 הם קווים אופקיים. מה הפירוש של y = 5? פירוש הדבר שעבור כל x, y הוא 5. כמו כן y = -2 פירושו שעבור כל x, y = -2.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          כיצד נוכל לזהות את המשוואה של קו האופקי, כלומר מקביל לציר ה- x.

          דוגמה 5 גרף y = -3.

          אתה יכול לכתוב את המשוואה כ- 0x + y = -3. ואז ברור שלכל ערך של x שתחליף אתה תמיד תקבל y = -3. לפיכך, כפי שמוצג באיור, (4, -3), (0, -3) ו- (-3, -3) הם כולם זוגות מסודרים העונים על המשוואה y = -3. מכיוון שהקואורדינטציה y של כל נקודה בקו זה היא -3, קל לראות שהקו האופקי יהיה 3 יחידות מתחת לציר ה- x.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          שימו לב שה- y ציר הוא קו אנכי. זהו השורה x = 0, שכן, עבור כל y, x הוא 0. נסה כמה נקודות. (0, 2), (0, -3), (0, 4) כולם שוכבים על ציר ה- y. כל קו אנכי יהיה מקביל ל- y- ציר. קווים כמו x = 2 ו- x = -3 הם קווים אנכיים. תחשוב מה פירוש x = 2. פירוש הדבר שעבור כל ערך של y, x הוא 2. x = 2 הוא קו אנכי שתי יחידות מימין לציר y.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          איך נוכל לזהות את המשוואה של קו אנכי, כלומר מקביל ל- y- ציר?

          דוגמא 6 גרף x = 5

          ניתן לעשות זאת באופן מיידי על ידי ציור קו אנכי 5 יחידות מימין למוצא. הקואורדינטות x של כל נקודה בשורה זו היא 5.

          ניתן לשכתב את המשוואה x-5 = 0 כ- x = 5 ולשרטט כמוצג.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          שיפוע קו

          לאחר לימוד קטע זה, תוכל:

          1. מצא את השיפוע של קו ישר בהינתן שתי נקודות על הקו.

          2. מצא את השיפוע ואת ה- y-intercept של קו ישר, בהתחשב במשוואת הקו.

          3. כתוב את משוואת השורה, בהתחשב בשיפוע וב- y-intercept.

          4. גרף קו באמצעות השיפוע וה- intercept.

          5. מצא את שיפועי הקווים המקבילים או בניצב.

          מצא את שיפוע קו ישר, בהינתן שתי נקודות על הקו

          לעתים קרובות אנו משתמשים במילה שיפוע כדי לתאר את השיפוע (התלילות) של גבעה. נגר או בונה יתייחס למגרש או שיפוע הגג. השיפוע הוא שינוי המרחק האנכי לעומת שינוי המרחק האופקי ככל שעוברים מנקודה אחת לנקודה אחרת לאורך הגג. אם השינוי במרחק האנכי גדול מהשינוי במרחק האופקי, השיפוע יהיה תלול. אם השינוי במרחק האופקי גדול מהשינוי במרחק האנכי, השיפוע יהיה עדין.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          במישור קואורדינטות, השיפוע של קו ישר מוגדר על ידי השינוי ב- y חלקי השינוי ב- x.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          שקול את הקו הנמשך דרך נקודות A ו- B באיור. אם נמדוד את השינוי מנקודה A לנקודה B בכיוון ה- x ובכיוון ה- y, יהיה לנו מושג לגבי התלילות (או השיפוע) של הקו. מנקודה A לנקודה B השינוי בערכי y הוא מ -2 ל -4, שינוי של 2. מנקודה A לנקודה B השינוי בערכי x הוא מ -1 עד 5, שינוי של 4.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          באופן לא רשמי, אנו יכולים לתאר מהלך זה כעלייה לאורך הריצה: שיפוע = עלייה / ריצה.

          כעת אנו קובעים הגדרה רשמית יותר (ומשתמשת בתדירות גבוהה יותר).

          השימוש במונחים מנויים כמו x_1, x_2 וכן הלאה, הוא רק דרך לציין שהערך x הראשון הוא x_1, והערך x השני הוא x_2. לפיכך (x_1, y_1) הם הקואורדינטות של הנקודה הראשונה ו- (x_2, y_2) הם הקואורדינטות של הנקודה השנייה. האות m משמשת בדרך כלל למדרון.

          דוגמא 1 מצא את שיפוע הקו שעובר (2, 0) ו- (4, 2).

          בואו (2, 0) להיות הנקודה הראשונה (x_1, y_1) ו- (4, 2) להיות הנקודה השנייה (x_2, y_2)

          רישום הקו מוצג באיור לעיל.

          שים לב כי שיפוע השורה יהיה זהה אם אנו נותנים (4, 2) להיות הנקודה הראשונה (x_1, y_1) ו- (2, 0) להיות הנקודה השנייה (x_2, y_2).

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & amp;

          לפיכך, בהינתן שתי נקודות, לא משנה לאיזה אתה קורא (x_1, y_1) ולאיזה אתה קורא (x_2, y_2).

          אַזהָרָה היזהר, עם זאת, לא לשים את x & rsquos בסדר אחד ואת y & rsquos בסדר אחר בעת מציאת המדרון, בהתחשב בשתי נקודות על קו.

          דוגמא 2 מצא את שיפוע הקו דרך (-3, 2) ו- (2, -4).

          בוא (-3, 2) להיות (x_1, y_1) ו- (2, -4) להיות (x_2, y_2)

          השיפוע של קו זה הוא שלילי. היינו מצפים לכך מכיוון שערך y ירד מ -2 ל -4.

          דוגמה 3 מצא את שיפוע הקו שעובר בנקודות הנתונות.

          (a) 0, 2) ו- (5, 2) & emsp & emsp (b) (-4, 0) ו- (-4, -4)

          (א) קח רגע להסתכל על ערכי y. במה אתה מבחין? מה זה אומר לך על הקו? עכשיו חשב את השיפוע.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & amp;

          קו אופקי יש שיפוע של 0.

          (ב) הקדש רגע לבחון את ערכי ה- x. במה אתה מבחין? מה זה אומר לך על הקו? עכשיו חשב את השיפוע.

          נזכיר שחלוקה לפי 0 אינה מוגדרת.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & amp

          שיפוע קו אנכי אינו מוגדר. אנו אומרים שיש לקו זה אין שיפוע.

          & emsp & emsp שימו לב להגדרה שלנו של שיפוע ש- x_2! = x_1. לפיכך לא מתאים להשתמש בנוסחת השיפוע לנקודות ב (ב). אנו עושים זאת כדי להמחיש מה יקרה אם x_2 = x_1. אנו מקבלים מצב בלתי אפשרי, (y_2-y_1) / 0. עכשיו אתה יכול לראות מדוע אנו כוללים את ההגבלה x_2! = X_1 בהגדרתנו.

          מציאת השיפוע וה- y-intercept של קו, בהתחשב במשוואה של קו

          נזכיר כי המשוואה של קו היא משוואה ליניארית בשני משתנים. ניתן לכתוב משוואה זו בכמה דרכים שונות. צורה מאוד שימושית של משוואת קו ישר היא צורת השיפוע & mdashintercept. ניתן להפיק את הטופס באופן הבא. נניח שקו ישר, עם שיפוע m, חוצה את y- הציר בנקודה (0, b). שקול כל נקודה אחרת בשורה וסמן את הנקודה (x, y).

          צורה זו של משוואה ליניארית חושפת מיד את שיפוע הקו, m, והמקום בו הקו מיירט (חוצה) את y- הציר, ב.

          דוגמה 4 מה השיפוע וה- y-intercept של הקו שמשוואתו היא y = 4x - 5?

          המשוואה היא בצורה y = mx + b.

          השיפוע הוא 4 וה- intercept הוא -5.

          על ידי שימוש בפעולות אלגבריות, אנו יכולים לכתוב כל משוואה ליניארית בצורה שיפוע & mdashintercept ולהשתמש בצורה זו כדי לזהות את השיפוע ואת y-intercept של הקו.

          דוגמה 5 מהו השיפוע וה- y-intercept של הקו 5x + 3y = 2?

          אנו רוצים לפתור את y ולקבל את המשוואה בצורה y = mx + b. עלינו לבודד את המשתנה y.

          כתיבת משוואת קו, בהתחשב בשיפוע וב- y-intercept

          אם אנו יודעים את שיפוע קו m, ואת y-intercept, b, נוכל לכתוב את משוואת הקו, y = mx + b.

          דוגמא 6 מצא את משוואת הקו עם שיפוע 2/5 ו- y-intercept -3.

          (א) כתוב את המשוואה בצורה שיפוע & mdashintercept, y = mx + b.

          (ב) כתוב את המשוואה בצורה Ax + By = C.

          (א) ניתן לנו ש- m = 2/5 ו- b = -3. מאז

          (ב) נזכור, עבור הטופס Ax + By = C, ש- A, B ו- C הם מספרים שלמים. ראשית אנו מנקים את משוואת השברים. לאחר מכן אנו מעבירים את המונח x לצד שמאל.

          5y = 5 ((2x) / 5) -5 (3) & emsp & emsp כפל כל מונח ב -5.

          -2x + 5y = -15 & emsp & emsp גרע פעמיים מכל צד.

          2x-y = 15 & emsp & emsp הכפל כל מונח ב -1. הצורה Ax + By = C נכתבת בדרך כלל עם A כמספר שלם חיובי.

          רישום קו באמצעות השיפוע וה- Intercept

          אם אנו יודעים את שיפוע הקו ואת המפגש y, נוכל לצייר את גרף הקו.

          דוגמה 7 גרף קו עם שיפוע m = 2/3 ו- y - חיתוך -3. השתמש במערכת הקואורדינטות למטה.

          נזכיר ש- y-intercept הוא הנקודה בה קו עובר את y- ציר. הקואורדינטה x של נקודה זו היא 0. לפיכך הקואורדינטות של ה- y-intercept עבור קו זה הן (0, -3). אנו מתכננים את הנקודה.

          נזכיר כי שיפוע = עלייה / ריצה. מכיוון שהשיפוע לקו זה הוא 2/3, נעלה (נעלה) 2 יחידות ונעבור (רץ) ימינה 3 יחידות מהנקודה (0, -3). עיין באיור למטה. זו הנקודה (3, -1). זממו את העניין. שרטט קו המחבר בין שתי הנקודות (0, -3) ו- (3, -1).

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          זהו הגרף של הקו עם שיפוע 2/3 ו- y - חיתוך -3.

          מציאת מדרונות הקווים המקבילים או בניצב

          קווים מקבילים הם שני קווים ישרים שלעולם אינם נוגעים. התבונן בקווים המקבילים באיור למטה.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          שימו לב כי שיפוע קו a הוא -3 ושיפוע קו b הוא גם -3. מדוע לדעתכם השיפועים חייבים להיות שווים? מה היה קורה אם שיפוע קו b היה -1. נסה זאת.

          קווים בניצב הם שני קווים שנפגשים בזווית של 90 מעלות. התבונן בקווים הניצבים באיור למטה.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & amp;

          שיפוע קו c הוא -3. שיפוע קו d הוא 1/3. שים לב ש

          ייתכן שתרצה לצייר כמה זוגות של קווים בניצב כדי לקבוע אם זה תמיד יקרה.

          דוגמא 8 לקו e יש שיפוע של מינוס 2/3.

          (א) אם קו f מקביל לקו e, מה השיפוע שלו?

          (ב) אם קו g מאונך לקו e, מה השיפוע שלו?

          (א) לקווים מקבילים יש שיפוע זהה.

          לקו f תהיה שיפוע של מינוס 2/3.

          (ב) לקווים בניצב יש שיפועים שמוצרם -1.

          (-3/2) (- 2/3) m_2 = -1 (-3/2) & emsp & emsp הכפל את שני הצדדים על ידי מינוס 3/2.

          שיפוע הקו g הוא 3/2

          השגת משוואת קו

          לאחר לימוד קטע זה, תוכל:

          1. כתוב את משוואת השורה, בהתחשב בנקודה ובשיפוע.

          2. כתוב את משוואת השורה, בהתחשב בשתי נקודות.

          3. כתוב את משוואת השורה, בהתחשב בתרשים של השורה.

          כתיבת משוואת קו, נתונה נקודה ושיפוע

          אם אנו מכירים את שיפוע הקו ואת y-intercept, נוכל לכתוב את משוואת הקו בצורה שיפוע & mdashintercept. לפעמים נותנים לנו את השיפוע ונקודה על הקו. אנו משתמשים במידע כדי למצוא את ה- y-intercept. אז נוכל לכתוב את משוואת השורה.

          דוגמא 1 מצא את המשוואה של קו עם שיפוע של 4 שעובר בנקודה (3, 1).

          אנו מקבלים את הערכים הבאים: m = 4, x = 3, y = 1.

          ניתן לנו כי שיפוע הקו הוא 4.

          מכיוון ש (3, 1) היא נקודה על הקו, היא מספקת את המשוואה. החלף את המשוואה x = 3 ו- y = 1.

          לפיכך ה- y-intercept הוא -11. כעת נוכל לכתוב את משוואת השורה.

          זה עשוי להיות מועיל לסכם את הגישה שלנו.

          דוגמא 2 מצא את המשוואה של קו עם שיפוע ומינוס 2/3 שעובר בנקודה (-3, 6).

          אנו כותבים את הערכים m = & מינוס 2/3, x = -3, y = 6.

          6 = (-2/3) (- 3) + b & emsp & emsp מחליפים ערכים ידועים.

          משוואת הקו היא y = & מינוס 2/3 x + 4.

          מציאת משוואת קו, ניתנת שתי נקודות

          ניתן להרחיב את הנוהל שלנו גם למקרה שניתן לו שתי נקודות.

          דוגמה 3 מצא את המשוואה של קו שעובר (2, 5) ו- (6, 3).

          ראשית אנו מוצאים את שיפוע הקו. ואז נמשיך כמו בדוגמה 2.

          m = (3-5) / (6-2) & emsp & emsp תחליף (x_1, y_1) = (2,5) ו- (x_2, y_2) = (6, 3) לנוסחה.

          בחר נקודה כלשהי, אמור (2,5) והמשיך כמו בדוגמה 2.

          משוואת הקו היא y = & מינוס 1 / 2x + 6.

          הערה: לאחר מציאת השיפוע m = & מינוס 1/2, היינו יכולים להשתמש בנקודה השנייה (6, 3) והיינו מגיעים לאותה תשובה. נסה זאת.

          מציאת משוואת קו מהגרף

          דוגמה 4 מהי משוואת הקו באיור להלן?

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          ראשית, חפש את ה- y-intercept. הקו חוצה את הציר y ב- (0,4). לפיכך b = 4.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          חפש נקודה נוספת על הקו. בחרנו (5, -2). ספר את מספר היחידות האנכיות בין 4 ל -2 (עלייה). ספרו את מספר היחידות האופקיות מ -0 עד 5 (הפעלה).

          כעת נוכל לכתוב את משוואת השורה, m = & מינוס 6/5 ו- b = 4.

          שרטוט אי-שוויון לינארי

          לאחר לימוד קטע זה, תוכל:

          1. גרף אי-שוויון לינארי בשני משתנים.

          במדריך הקודם דנו באי-שוויון במשתנה אחד. התבונן באי-השוויון x & lt -2 (x קטן מ -2). חלק מהפתרונות לאי השוויון הם -3, -5 ו- -5 1/2. למעשה כל המספרים שמשמאל ל -2 בשורת המספרים הם פתרונות. גרף האי-שוויון מובא להלן. שימו לב שהמעגל הפתוח ב -2 מציין ש- 2 הוא לֹא פתרון.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          רישום אי-שוויון לינארי בשני משתנים

          שקול את אי השוויון y & gt = x. הפתרון של האי-שוויון הוא מכלול הצמדים המסודרים האפשריים שכאשר הם מוחלפים באי-השוויון יניבו אמירה אמיתית. אילו זוגות מסודרים יהפכו את המשפט y & gt = x לאמיתי? תן ל- rsquos לנסות כמה.

          (0, 6), (-2, 1), (3, 5) ו- (4, 4) הם פתרונות לאי השוויון y & gt = x. למעשה, כל נקודה בה ה- y- קואורדינטה גדולה או שווה ל- x- הקואורדינטה היא פתרון לחוסר השוויון. זה מוצג על ידי האזור המוצלל בתרשים למטה. שימו לב שקבוצת הפתרונות כוללת את הנקודות בשורה y = x.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          האם היינו צריכים לבדוק כל כך הרבה נקודות? הפתרון שנקבע לאי שוויון בשני משתנים יהיה האזור שמעל הקו או האזור שמתחת לקו. מספיק לבדוק נקודה אחת. אם הנקודה היא פיתרון לאי השוויון, צל על האזור שכולל את הנקודה. אם הנקודה אינה פיתרון, הצל על האזור בצד השני של הקו.

          דוגמא 1. תרשים 5x + 3y & gt 15. השתמש במערכת הקואורדינטות למטה.

          אנו מתחילים בתרשים את השורה 5x + 3y = 15. אתה יכול להשתמש בכל שיטה שעליה דנו קודם לשרטט את הקו. מכיוון שאין סימן שווה באי-השוויון, נשרטט קו מקווקו כדי לציין שהקו הוא לֹא חלק מערך הפתרונות.

          & emsp & emsp חפש נקודת מבחן. הנקודה הקלה ביותר לבדיקה היא (0, 0). החלף (0, 0) ל- (x, y) באי השוויון.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          (0,0) אינו פיתרון. צל על הצד של הקו שכן לֹא כולל (0, 0)

          דוגמא 2 תרשים 2y & lt = -3x.

          שלב 1 תרשים 2y = פי -3. מכיוון ש- le משמש, הקו צריך להיות קו מלא.

          שלב 2 אנו רואים שהקו עובר (0, 0).

          שלב 3 בחר נקודת בדיקה אחרת. אנו נבחר -3, -3

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          הצל את האזור הכולל (-3, -3). הצל את האזור שמתחת לקו.

          אם נשרטט את אי השוויון x & lt-2 במישור הקואורדינטות, הפיתרון יהיה אזור. שימו לב שזה שונה מאוד מהפתרון x & lt-2 בשורת המספרים שנדונה קודם.

          דוגמא 3 גרף x & lt -2 במישור הקואורדינטות.

          שלב 1 גרף x = -2. מכיוון שמשתמשים ב- & lt, יש לנקות את הקו.

          שלב 2 מבחן (0,0) באי השוויון.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          הצל את האזור שאינו כולל (0, 0). הצל את האזור משמאל לקו x = -2

          פונקציות

          לאחר לימוד קטע זה, תוכל:

          1. להבין ולהשתמש בהגדרת יחס ופונקציה.

          2. גרף משוואות פשוטות לא לינאריות.

          3. קבע אם גרף מייצג פונקציה.

          הבנת ושימוש בהגדרות של יחס ותפקוד

          עד כה למדת משוואות ליניאריות בשני משתנים. ראית שמשוואה כזו יכולה להיות מיוצגת על ידי טבלת ערכים, על ידי המשוואה האלגברית עצמה ועל ידי גרף.

          & emsp & emsp הפתרונות למשוואה הליניארית הם כל הזוגות המסודרים העונים על המשוואה (הופכים את המשוואה לאמיתית). כל הנקודות הטמונות בגרף הקו. ניתן לייצג זוגות מסודרים אלה בטבלת ערכים. שימו לב לקשר בין הזוגות שהוזמנו. אנו יכולים לבחור כל ערך עבור x. אך לאחר שבחרנו ערך עבור x, נקבע הערך של y. לדוגמא, במשוואה y = -3x + 4 אם x הוא 0, אז y חייב להיות 4. אנו אומרים ש- x הוא ה- משתנה בלתי תלוי וכי y הוא ה משתנה תלוי .

          & emsp & emsp מתמטיקאים מכנים זיווג כזה של שני ערכים a יַחַס.

          & emsp & emsp כל הקואורדינטות הראשונות בכל זוג שהוזמן מהוות את תְחוּם של היחס. כל הקואורדינטות השנייה בכל זוג שהוזמן מהוות את טווח של היחס. שימו לב שהגדרת הקשר רחבה מאוד. לא ניתן לתאר יחסים מסוימים על ידי ביטוי אלגברי. יחסים אלה עשויים להיות פשוט קבוצה של זוגות מסודרים בדידים.

          דוגמא 1 ציין את התחום והטווח של הקשר הבא.

          התחום מורכב מכל הקואורדינטות הראשונות בזוגות שהוזמנו.

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          הטווח מורכב מכל הקואורדינטות השנייה בזוגות שהוזמנו. לכן

          הטווח הוא <7, 11, 14> & emsp & emsp אנחנו רק מפרטים 7 פעם אחת.

          לחלק מהיחסים יש מאפיין מיוחד והם נקראים פונקציות. היחס y = -3x + 4 הוא פונקציה. אם אתה מסתכל על טבלת הערכים שלה, אין לשני זוגות מסודרים שונים אותה קואורדינטות ראשונות. אם תסתכל על הגרף שלו, תבחין שכל קו אנכי חוצה את הגרף פעם אחת בלבד. לפעמים אנו מקבלים מושג טוב יותר אם אנו מסתכלים על יחסים מסוימים לֹא פונקציות. תסתכל על y ^ 2 = x.

          שימו לב, אם x הוא 1, y יכול להיות 1 מכיוון 1 ^ 2 = 1 או y יכול להיות -1 מכיוון (-1) ^ 2 = 1. כלומר, לזוגות המסודרים (1, -1) ו- (1, 1) שניהם קואורדינטות ראשונות זהות. y ^ 2 = x אינו פונקציה. מה אתה מבחין בגרף?

          דוגמא 2 קבע אם היחס הוא פונקציה או לא פונקציה.

          (א) התבונן בזוגות שהוזמנו. אין שני זוגות מסודרים זהים לתאום הראשון. לפיכך (א) הוא פונקציה. שימו לב שלזוגות המסודרים (3,9) ו- (5,9) יש את אותה הקואורדינטה השנייה, אך זה לא מונע מהקשר להיות פונקציה.

          (ב) התבונן בזוגות שהוזמנו. שני זוגות מסודרים שונים, (7, 8) ו- (7, 14), כוללים את אותו הקואורדינטות הראשונות. לפיכך יחס זה אינו פונקציה.

          פונקציות הן מה שאנחנו מקווים למצוא כאשר אנו מנתחים שתי קבוצות נתונים. עיין בטבלת הערכים המשווה את טמפרטורת צלזיוס לטמפרטורת פרנהייט. האם יש קשר בין מעלות פרנהייט למעלות צלזיוס? האם היחס הוא פונקציה?

          & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

          מכיוון שכל טמפרטורת פרנהייט מייצרת טמפרטורה ייחודית של צלזיוס, היינו מצפים שזו תהיה פונקציה. אנו יכולים לאמת את ההנחה שלנו על ידי התבוננות בנוסחה C = 5/9 (F-32) והגרף שלה. הנוסחה היא משוואה ליניארית, והגרף שלה הוא קו עם שיפוע 5/9 ו- y- חיתוך בערך -17.8. היחס הוא פונקציה. שימו לב שה- משתנה תלוי הוא C, שכן הערך של C תלוי בערך של F. אנו אומרים ש- F הוא ה משתנה בלתי תלוי . ה תְחוּם ניתן לתאר כקבוצת הערכים האפשריים של המשתנה הבלתי תלוי. ה טווח הוא קבוצת הערכים התואמים של המשתנה התלוי. מדענים מאמינים כי הטמפרטורה הקרה ביותר האפשרית היא כ -273 מעלות צלזיוס. הם מכנים את הטמפרטורה הזו אפס מוחלט. לכן,

          דוגמה 3 קבע אם היחס הוא פונקציה או לא פונקציה. אם זו פונקציה, זהה את התחום והטווח.

          (א) כשמסתכלים על השולחן, אנו רואים כי אין לשני זוגות מסודרים שונים זהה לתא הראשון. שטח המעגל הוא פונקציה של אורך הרדיוס.

          & emsp & emsp הבא עלינו לזהות את המשתנה הבלתי תלוי על מנת לקבוע את התחום. לפעמים קל יותר לזהות את המשתנה התלוי. כאן אנו מבחינים כי שטח המעגל תלוי באורך הרדיוס. לפיכך הרדיוס הוא המשתנה הבלתי תלוי. מכיוון שאורך שלילי אינו הגיוני, הרדיוס אינו יכול להיות מספר שלילי.

          (ב) אין שני זוגות מסודרים שונים זהים לתאום הראשון. עניין הוא פונקציה של זמן.

          & emsp & emsp מכיוון שגובה הריבית המשולמת על הלוואה תלוי במספר השנים (תקופת ההלוואה), הריבית היא המשתנה התלוי והזמן הוא המשתנה הבלתי תלוי. מספרים שליליים אינם חלים במצב זה.

          גרף משוואות פשוטות לא לינאריות

          עד כה בשיעור זה גרפנו משוואות ליניאריות בשני משתנים. כעת נפנה לשרטט כמה משוואות לא לינאריות. נצטרך לשרטט יותר משלוש נקודות כדי לקבל מושג טוב כיצד ייראה הגרף.

          דוגמה 4 גרף y = x ^ 2.

          התחל בבניית טבלת ערכים. אנו בוחרים ערכים עבור x ואז קובעים לפי המשוואה את הערכים התואמים של y. אנו נכלול ערכים שליליים עבור x וכן ערכים חיוביים. לאחר מכן אנו משרטטים את הזוגות המסודרים ומחברים את הנקודות בעקומה חלקה.

          סוג זה של עקומה נקרא a פָּרַבּוֹלָה. נלמד את הגרף של סוגים אלה של עקומות בהרחבה בהדרכות מאוחרות יותר.

          דוגמה 5 גרף x = y ^ 2 + 2.

          נבחר ערך של y ואז נחליף אותו למשוואה כדי להשיג x. לנוחיות הגרפים נחזור על עמודת y בסוף כך שיהיה קל לכתוב את הזוגות המסודרים (x, y).

          אם המשוואה כוללת שברים עם משתנים במכנה, עלינו לנקוט משנה זהירות. אתה אף פעם לא יכול לחלק באפס.

          דוגמא 6 גרף y = 4 / x.

          חשוב לציין ש- x לא יכול להיות אפס מכיוון שחלוקה באפס אינה מוגדרת. y = 4/0 אסור! שימו לב שכאשר אנו מציירים את הגרף אנו מקבלים שני ענפים נפרדים של העקומה שאינם נוגעים.

          קביעת אם גרף מייצג פונקציה

          האם נוכל לדעת מגרף אם זה הגרף של פונקציה? נזכיר כי לפונקציה חייבת להיות המאפיין כי אין לשני זוגות מסודרים שונים אותה קואורדינטות ראשונות. כלומר, כל ערך של x חייב להיות בעל ערך ייחודי נפרד של y. עיין בתרשים של y = x ^ 2 בדוגמה 4. לכל ערך x ערך y ייחודי. עיין בתרשים של x = y ^ 2 + 2 בדוגמה 5. ב- x = 3 ישנם שני ערכי y, 1 ו- -1. למעשה, לכל ערך x גדול מ -2 ישנם שני ערכי y. x = y ^ 2 + 2 אינה פונקציה.

          שימו לב שנוכל לצייר קו אנכי דרך (6, 2) ו- (6, -2). בכל גרף שאינו פונקציה יהיה לפחות אזור אחד בו קו אנכי יחצה את העקומה יותר מפעם אחת.

          דוגמה 7 קבע אם כל אחד מהבאים הוא הגרף של פונקציה.

          (א) הגרף של הקו הישר הוא פונקציה. קו אנכי יכול לחצות קו ישר זה רק במיקום אחד.

          (ב) ו- (ג) כל אחד מהגרפים הללו אינו הגרף של פונקציה. בשני המקרים קו אנכי יכול לחצות את העקומה ביותר ממקום אחד.

          שימוש בסימון פונקציות

          ראינו שמשוואה כמו y = 2x + 7 היא פונקציה. עבור כל ערך x, המשוואה מקצה ערך ייחודי ל- y. נוכל לומר & lsquo & lsquo y הוא פונקציה של x. & Rsquo & rsquo ניתן לסמל משפט זה באמצעות סימון הפונקציה y = f (x). כך תוכלו להימנע לחלוטין מהמשתנה y ולתאר ביטוי כמו 2x + 7 כפונקציה של x על ידי כתיבת f (x) = 2x + 7.

          אַזהָרָה הזהר. הסימון f (x) אינו אומר f מוכפל ב- x.

          דוגמא 8 אם f (x) = 2x + 7, אז מצא f (3).

          f (3) פירושו שאנחנו רוצים למצוא את ערך הפונקציה f (x) כאשר x = 3. בדוגמה זו f (x) הוא 2x + 7. לפיכך אנו מחליפים 3 ב- x בכל מקום בו x מופיע במשוואה ונעריך.

          דוגמא 9 אם f (x) = 3x ^ 2-4x + 5, מצא:

          f (2) == 3 (2) ^ 2-4 (2) +5 == 3 (4) -4 (2) +5 == 12-8 +5 == 9

          f (-2) == 3 (-2) ^ 2-4 (-2) + 5 == 3 (4) -4 (-2) +5 == 12 +8 +5 == 25

          f (4) == 3 (4) ^ 2-4 (4) + 5 == 3 (16) -4 (4) + 5 == 48-16 + 5 == 37

          בעת הערכת פונקציה כדאי למקם סוגריים סביב הערך המוחלף ל- x. לוקח את הזמן לעשות זאת למזער שגיאות סימן בעבודה שלך.


          הצלחה במתמטיקה ומדע פותחת הזדמנויות

          הירשם לקבלת יתרון בהזדמנויות לימודים וקריירה. השתמש ב- Siyavula Practice כדי להשיג את הציונים הטובים ביותר האפשריים.

          קבע את (x ) - יירוט ואת (y ) - יירוט של המשוואות הבאות.

          (x ) - יירוט (= 1 ) ו- (y ) - יירוט (= - 1 )

          (x ) - יירוט (= - 2 ) ו- (y ) - יירוט (= 2 )

          (x ) - יירוט (= 3 ) ו- (y ) - יירוט (= - 3 )

          בגרף למטה יש פונקציה עם המשוואה (y = mx + c ). קבע את הערכים של (m ) (שיפוע הקו) ו- (c ) ( (y ) - יירוט של הקו).

          כדי לקבוע (m ), אנו משתמשים בקואורדינטות של כל נקודה אחרת בקו פרט לזו המשמשת ליירוט (y ). בפתרון זה בחרנו את הקואורדינטות של נקודה (B ) שהן ((12) ).

          התחל y & amp = mx + c 2 & amp = m (1) - 1 2 & amp = m - 1 3 & amp = m end

          הגרף שלהלן מציג פונקציה עם המשוואה (y = mx + c ). קבע את הערכים של (m ) (שיפוע הקו) ו- (c ) ( (y ) - יירוט של הקו).

          כדי לקבוע (m ), אנו משתמשים בקואורדינטות של כל נקודה אחרת בקו פרט לזו המשמשת ליירוט (y ). בפתרון זה בחרנו את הקואורדינטות של נקודה (B ) שהן ((12) ).

          התחל y & amp = mx + c 0 & amp = m (1) - 1 0 & amp = m - 1 1 & amp = m end

          רשום את היירוטים (x ) ו- (y ) עבור גרפי הקו הישר הבא. ציין אם הגרף גדל או יורד:

          כדי למצוא את (x ) - יירוט הגדרנו (y = 0 ) וכדי למצוא את (y ) - יירוט הגדרנו (x = 0 ). זה נותן את הנקודות ((01) ) ו- ((- 10) ). הגרף עולה ( (m & gt 0 )).

          כדי למצוא את (x ) - יירוט הגדרנו (y = 0 ) וכדי למצוא את (y ) - יירוט הגדרנו (x = 0 ). זה נותן את הנקודות ((0-1) ) ו- ((10) ). הגרף עולה ( (m & gt 0 )).

          כדי למצוא את (x ) - יירוט הגדרנו (y = 0 ) וכדי למצוא את (y ) - יירוט הגדרנו (x = 0 ). זה נותן את הנקודות ((0-1) ) ו- ( left ( frac <1> <2> 0 right) ). הגרף עולה ( (m & gt 0 )).

          כדי למצוא את (x ) - יירוט הגדרנו (y = 0 ) וכדי למצוא את (y ) - יירוט הגדרנו (x = 0 ). זה נותן את הנקודות ((01) ) ו- ( שמאל ( frac <1> <3> 0 ימין) ). הגרף יורד ( (m & lt 0 )).

          כדי למצוא את (x ) - יירוט הגדרנו (y = 0 ) וכדי למצוא את (y ) - יירוט הגדרנו (x = 0 ). זה נותן את הנקודות ((02) ) ו- ( שמאל (-30 ימין) ). הגרף עולה ( (m & gt 0 )).

          כדי למצוא את (x ) - יירוט הגדרנו (y = 0 ) וכדי למצוא את (y ) - יירוט הגדרנו (x = 0 ). זה נותן את הנקודה ((03) ). הגרף אופקי.

          כדי למצוא את (x ) - יירוט הגדרנו (y = 0 ) וכדי למצוא את (y ) - יירוט הגדרנו (x = 0 ). זה נותן את אותה נקודה עבור שני היירוטים: ((00) ). הגרף עולה ( (m & gt 0 )).

          כדי למצוא את (x ) - יירוט הגדרנו (y = 0 ) וכדי למצוא את (y ) - יירוט הגדרנו (x = 0 ). זה נותן את הנקודות ((0-3) ) ו- ( שמאל (20 מימין) ). הגרף עולה ( (m & gt 0 )).

          ציין אם הדברים הבאים נכונים או לא.

          השיפוע של (2y = 3x -1 ) הוא (3 ).

          לכן השיפוע הוא ( frac <3> <2> ).

          היירוט (y ) - של (y = x + 4 ) הוא (4 ).

          השיפוע של (2 - y = 2x - 1 ) הוא (- 2 ).

          השיפוע של (y = frac <1> <2> x - 1 ) הוא (- 1 ).

          היירוט (y ) - של (2y = 3x - 6 ) הוא (6 ).

          התחל 2y & amp = 3x - 6 y & amp = frac <3> <2> x - 3 end

          כתוב את הדברים הבאים בצורה סטנדרטית ( (y = mx + c )):

          עיין בתרשימים למטה. כל גרף מתויג באות. בשאלות הבאות, התאם כל משוואה נתונה לתווית הגרף המתאים.

          לפונקציות בתרשים למטה, ציין את המשוואה של כל שורה:

          היירוט (y ) - ((03) ), ולכן (c = 3 ).

          התחל y & amp = mx + 3 0 & amp = 4m + 3 לכן m & amp = frac <-3> <4> end

          היירוט (y ) - הוא ((0-6) ), ולכן (c = -6 ).

          התחל y & amp = mx - 6 0 & amp = 4m - 6 ולכן m & amp = frac <3> <2> end

          היירוט (y ) - ((03) ), ולכן (c = 3 ).

          התחל y & amp = mx + 3 3 & amp = -4m + 3 0 & amp = -4m ולכן m & amp = 0 end

          היירוט (y ) - ((00) ), ולכן (c = 0 ).

          התחל y & amp = mx 3 & amp = -4m לכן m & amp = frac <-3> <4> end

          שרטט את הפונקציות הבאות על אותה קבוצת צירים, בשיטת יירוט כפול. ציין בבירור את הקואורדינטות של היירוט עם הצירים ואת נקודת החיתוך של שני הגרפים: (x + 2y-5 = 0 ) ו- (3x-y-1 = 0 ).

          תחילה אנו כותבים את המשוואה בצורה סטנדרטית: (y = - frac <1> <2> x + frac <5> <2> ). מכאן אנו רואים כי יירוט (y ) - ( frac <5> <2> ). היירוט (x ) - הוא ( text <5> ).

          תחילה אנו כותבים את המשוואה בצורה סטנדרטית: (y = 3x - 1 ). מכאן אנו רואים כי יירוט (y ) - (- text <1> ). היירוט (x ) - הוא ( frac <1> <3> ).

          כדי למצוא את נקודת החיתוך עלינו לפתור את שתי המשוואות בו זמנית. נוכל להשתמש בצורה הסטנדרטית של המשוואה הראשונה ולהחליף ערך זה של (y ) למשוואה השנייה:

          התחל 3x + frac <1> <2> x - frac <5> <2> - 1 & amp = 0 frac <7> <2> x & amp = frac <7> <2> x & amp = 1 סוף

          החלף את הערך של (x ) בחזרה למשוואה הראשונה:

          התחל x + 2y - 5 & amp = 0 1 + 2y - 5 & amp = 0 2y & amp = 4 y & amp = 2 end

          לכן הגרפים מצטלבים ב- ((12) ).

          כעת נוכל לשרטט את הגרפים:

          על אותה קבוצה של צירים, צייר את הגרפים של (f (x) = 3 - 3x ) ו- (g (x) = frac <1> <3> x + 1 ) בשיטת שיפוע שיפוע .

          עבור (f (x) = 3 - 3x ) ה- (y ) - היירוט הוא 3. השיפוע הוא (- text <3> ).

          כדי לקבל את הנקודה השנייה אנו מתחילים ב- ((03) ) ומעבירים 3 יחידות למעלה ויחידה אחת שמאלה. זה נותן את הנקודה השנייה ((- 16) ). או שאנחנו יכולים להזיז 3 יחידות למטה ויחידה אחת ימינה כדי לקבל ((10) ).

          עבור (g (x) = frac <1> <3> x + 1 ) ה- (y ) - היירוט הוא 1. השיפוע הוא ( frac <1> <3> ).

          כדי לקבל את הנקודה השנייה אנו מתחילים ב- ((01) ) ומעבירים יחידה אחת למעלה ו -3 יחידות ימינה. זה נותן את הנקודה השנייה ((32) ). לחלופין נוכל להזיז יחידה אחת למטה ו -3 יחידות שמאלה כדי לקבל ((- 30) ).


          תלונה על DMCA

          אם אתה סבור שתכנים זמינים באמצעות האתר (כהגדרתם בתנאי השירות שלנו) מפרים אחד או יותר מזכויות היוצרים שלך, אנא הודיע ​​לנו על ידי מסירת הודעה בכתב ("הודעת הפרה") המכילה את המידע המתואר להלן למועצה הסוכן המופיע להלן. אם Varsity Tutors ינקוט בפעולה בתגובה להודעת הפרה, היא תעשה תום לב לנסות ליצור קשר עם הצד שהגיש זמין לתוכן כזה באמצעות כתובת הדוא"ל האחרונה, אם בכלל, שמספק צד זה ל- Varsity Tutors.

          הודעת ההפרה שלך תועבר לצד שהפך את התוכן לזמין או לצדדים שלישיים כגון ChillingEffects.org.

          לידיעתך, תהיה אחראי לנזקים (כולל עלויות ושכר טרחת עורכי דין) אם תציג באופן שגוי באופן מהותי כי מוצר או פעילות מפרים את זכויות היוצרים שלך. לפיכך, אם אינך בטוח שתוכן שממוקם באתר או מקושר אליו מפר את זכויות היוצרים שלך, עליך לשקול לפנות תחילה לעורך דין.

          אנא בצע את הצעדים הבאים כדי להגיש הודעה:

          עליך לכלול את הדברים הבאים:

          חתימה פיזית או אלקטרונית של בעל זכויות היוצרים או של אדם המוסמך לפעול מטעמם זיהוי של זכויות היוצרים שלטענתם הופרה תיאור של אופי ומיקומו המדויק של התוכן שלטענתך מפר את זכויות היוצרים שלך, די מספיק פרט שמאפשר למדריכי Varsity למצוא ולזהות את התוכן באופן חיובי, למשל, אנו זקוקים לקישור לשאלה הספציפית (לא רק לשם השאלה) המכיל את התוכן ותיאור איזה חלק ספציפי של השאלה - תמונה, תמונה קישור, הטקסט וכו '- תלונתך מתייחסת לשמך, כתובתך, מספר הטלפון וכתובת הדוא"ל שלך והצהרה מאתך: (א) שאתה מאמין בתום לב שהשימוש בתוכן שלטענתך מפר את זכויות היוצרים שלך הוא לא מורשה על פי חוק, או על ידי בעל זכויות היוצרים או סוכן בעל כזה (ב) שכל המידע הכלול בהודעת ההפרה שלך מדויק, ו- (ג) בעונש שקר, שאתה או בעל זכויות היוצרים או אדם המוסמך לפעול מטעמם.

          שלח את תלונתך לסוכן המיועד שלנו בכתובת:

          צ'ארלס כהן Varsity Tutors LLC
          101 S. Hanley Rd, סוויטה 300
          סנט לואיס, MO 63105


          [לטקס] [/ לטקס]

          ראינו בעבר כי הגרף של פונקציה לינארית הוא קו ישר. הצלחנו גם לראות את נקודות הפונקציה כמו גם את הערך ההתחלתי מגרף.

          ישנן שלוש שיטות בסיסיות לשרטט פונקציות ליניאריות. הראשון הוא על ידי התוויית נקודות ואז ציור קו בין הנקודות. השנייה היא באמצעות y-יירט ושיפוע. השלישי הוא החלת טרנספורמציות על פונקציית הזהות [לטקס] f left (x right) = x [/ latex].

          רישום פונקציה על ידי תכנון נקודות

          כדי למצוא נקודות של פונקציה, אנו יכולים לבחור ערכי קלט, להעריך את הפונקציה בערכי קלט אלה ולחשב ערכי פלט. ערכי הקלט וערכי הפלט התואמים יוצרים זוגות קואורדינטות. לאחר מכן אנו מתווים את זוגות הקואורדינטות על גבי רשת. באופן כללי עלינו להעריך את הפונקציה במינימום שתי כניסות על מנת למצוא לפחות שתי נקודות בגרף הפונקציה. לדוגמא, בהתחשב בפונקציה [לטקס] f שמאל (x ימין) = 2x [/ לטקס], אנו עשויים להשתמש בערכי הקלט 1 ו- 2. הערכת הפונקציה לערך קלט 1 מניבה ערך פלט של 2 אשר מיוצג על ידי הנקודה (1, 2). הערכת הפונקציה לערך קלט של 2 מניבה ערך פלט של 4 המיוצג על ידי הנקודה (2, 4). לעתים קרובות מומלץ לבחור שלוש נקודות מכיוון שאם שלוש הנקודות אינן נופלות על אותה קו, אנו יודעים שטעינו.

          כיצד: ניתן פונקציה ליניארית, גרף לפי התוויית נקודות.

          1. בחר מינימום של שני ערכי קלט.
          2. הערך את הפונקציה בכל ערך קלט.
          3. השתמש בערכי הפלט המתקבלים לזיהוי זוגות קואורדינטות.
          4. התווה את זוגות הקואורדינטות על גבי רשת.
          5. צייר קו דרך הנקודות.

          דוגמה: גרפים על ידי זמירת נקודות

          גרף [לטקס] f left (x right) = - frac <2> <3> x + 5 [/ latex] על ידי התוויית נקודות.

          התחל בבחירת ערכי קלט. פונקציה זו כוללת שבר עם מכנה של 3 אז בואו נבחר מכפילים של 3 כערכי קלט. אנו בוחרים 0, 3 ו -6.

          הערך את הפונקציה בכל ערך קלט והשתמש בערך הפלט לזיהוי זוגות קואורדינטות.

          [לטקס] התחלx = 0 & f שמאל (0 ימין) = - frac <2> <3> שמאל (0 ימין) + 5 = 5 Rightarrow שמאל (0,5 ימין) x = 3 & & f left (3 right) = - frac <2> <3> left (3 right) + 5 = 3 Rightarrow left (3,3 right) x = 6 & f left ( 6 ימין) = - frac <2> <3> left (6 right) + 5 = 1 Rightarrow left (6,1 right) end[/שרף גומי]

          תכנן את זוגות הקואורדינטות ושרטט קו דרך הנקודות. הגרף שלהלן הוא של הפונקציה [לטקס] f left (x right) = - frac <2> <3> x + 5 [/ latex].

          ניתוח הפיתרון

          גרף הפונקציה הוא קו כצפוי לפונקציה לינארית. בנוסף, הגרף כולל שיפוע כלפי מטה המציין שיפוע שלילי. זה צפוי גם מקצב השינוי הקבוע השלילי במשוואה לפונקציה.

          נסה זאת

          גרף [לטקס] f left (x right) = - frac <3> <4> x + 6 [/ latex] על ידי התוויית נקודות.

          רישום פונקציה לינארית באמצעות יירוט y ושיפוע

          דרך נוספת לשרטט פונקציות לינאריות היא באמצעות מאפיינים ספציפיים של הפונקציה במקום על ידי נקודות עלילה. המאפיין הראשון הוא שלה y-יירוט שהיא הנקודה בה ערך הקלט הוא אפס. כדי למצוא את y-לעכב, אנו יכולים להגדיר [לטקס] x = 0 [/ לטקס] במשוואה.

          המאפיין הנוסף של הפונקציה הליניארית הוא השיפוע שלה, M, שהוא מדד לתלילותו. נזכיר כי השיפוע הוא קצב השינוי של הפונקציה. השיפוע של פונקציה לינארית שווה ליחס בין שינוי היציאות לשינוי התשומות. דרך נוספת לחשוב על השיפוע היא על ידי חלוקת ההפרש האנכי, או עלייה, בין שתי נקודות בכל ההפרש האופקי, או ריצה. השיפוע של פונקציה לינארית יהיה זהה בין שתי נקודות כלשהן. פגשנו את שניהם y-יירוט והמדרון בפונקציות לינאריות.

          בואו ניקח בחשבון את הפונקציה הבאה.

          השיפוע הוא [לטקס] frac <1> <2> [/ לטקס]. מכיוון שהשיפוע חיובי, אנו יודעים שהגרף ישתפל מעלה משמאל לימין. ה y-יירוט היא הנקודה בגרף מתי איקס = 0. הגרף חוצה את yציר ב (0, 1). עכשיו אנחנו יודעים את המדרון ואת y-לעכב. אנו יכולים להתחיל בשרטוט על ידי התוויית הנקודה (0, 1) אנו יודעים שהמדרון עולה בריצה, [לטקס] m = frac < text> < טקסט> [/ לטקס]. מהדוגמה שלנו, יש לנו [לטקס] m = frac <1> <2> [/ לטקס], כלומר העלייה היא 1 והריצה היא 2. החל מה yיירוט (0, 1), אנו יכולים לעלות 1 ואז לרוץ 2 או לרוץ 2 ואז לעלות 1. אנו חוזרים על כך עד שיש לנו מספר נקודות ואז נמתח קו דרך הנקודות כמוצג להלן.

          הערה כללית: פרשנות גרפית לפונקציה לינארית

          במשוואה [לטקס] f שמאל (x ימין) = mx + b [/ לטקס]

          • ב האם ה yיירוט הגרף ומציין את הנקודה (0, ב) שבו הגרף חוצה את y-צִיר.
          • M הוא שיפוע הקו ומציין תזוזה אנכית (עלייה) ותזוזה אופקית (ריצה) בין כל זוג נקודות עוקבות. זכור את הנוסחה לשיפוע:

          האם לכל הפונקציות הלינאריות יש yיירוטים?

          כן. כל הפונקציות הלינאריות חוצות את ציר ה- y ולכן יש להן יירוט y. (הערה: לקו אנכי המקביל לציר ה- y אין חיתוך y. זכור שקו אנכי הוא הקו היחיד שאינו פונקציה.)

          כיצד: בהתחשב במשוואה לפונקציה לינארית, גרט את הפונקציה באמצעות y-יירט ושיפוע.

          1. הערך את הפונקציה בערך קלט של אפס כדי למצוא את y-לעכב.
          2. זהה את המדרון.
          3. זממו את הנקודה המיוצגת על ידי y-לעכב.
          4. השתמש ב- [לטקס] frac < טקסט> < טקסט> [/ לטקס] כדי לקבוע לפחות שתי נקודות נוספות על הקו.
          5. שרטט קו שעובר דרך הנקודות.

          דוגמה: גרפים באמצעות y-יירוט ושיפוע

          תרשים [לטקס] f left (x right) = - frac <2> <3> x + 5 [/ latex] באמצעות y-יירט ושיפוע.

          הערך את הפונקציה ב איקס = 0 כדי למצוא את y-לעכב. ערך הפלט כאשר איקס = 0 הוא 5, כך שהגרף יחצה את yציר ב (0, 5).

          על פי המשוואה לפונקציה, שיפוע הקו הוא [לטקס] - frac <2> <3> [/ לטקס]. זה אומר לנו שלכל ירידה אנכית של & # 8220rise & # 8221 של יחידות [לטקס] -2 [/ לטקס], & # 8220run & # 8221 עולה בכ -3 יחידות בכיוון האופקי. כעת אנו יכולים לשרטט את הפונקציה על ידי התווייה ראשונה של ה- y-לעכב. מהערך ההתחלתי (0, 5) אנו עוברים למטה 2 יחידות ולצד ימין 3 יחידות. אנו יכולים להאריך את הקו שמאלה וימינה על ידי חזרה, ואז לשרטט קו דרך הנקודות.

          ניתוח הפיתרון

          הגרף מוטה כלפי מטה משמאל לימין, כלומר יש לו שיפוע שלילי כצפוי.

          נסה זאת

          מצא נקודה בגרף שציירנו בדוגמה הקודמת: גרף באמצעות yיירוט ושיפוע שיש בו שלילי איקס-ערך.

          תשובות אפשריות כוללות [לטקס] שמאל (-3,7 ימין) [/ לטקס], [לטקס] שמאל (-6,9 מימין) [/ לטקס], או [לטקס] שמאל (-9,11 ימין) [/ לטקס].

          רישום פונקציה לינארית באמצעות טרנספורמציות

          אפשרות נוספת עבור גרפים היא שימוש טרנספורמציות על פונקציית הזהות [לטקס] f left (x right) = x [/ latex]. פונקציה עשויה להפוך על ידי שינוי מעלה, מטה, שמאלה או ימינה. פונקציה עשויה גם להפוך באמצעות השתקפות, מתיחה או דחיסה.

          מתיחה אנכית או דחיסה

          במשוואה [לטקס] f שמאל (x ימין) = mx [/ לטקס], ה- M מתנהג כמו מתיחה אנכית אוֹ דְחִיסָה של פונקציית הזהות. מתי M הוא שלילי, יש גם השתקפות אנכית של הגרף. שימו לב כי הכפלת המשוואה [לטקס] f שמאל (x ימין) = x [/ לטקס] ב M מותח את הגרף של f לפי גורם של M יחידות אם M & gt 1 ודוחס את הגרף של f לפי גורם של M יחידות אם 0 & lt M & lt 1. פירוש הדבר שככל שהערך המוחלט גדול יותר של M, ככל שהמדרון תלול יותר.

          מתיחות אנכיות ודחיסות והשתקפויות על הפונקציה [לטקס] f left (x right) = x [/ latex].

          שינוי אנכי

          ב- [לטקס] f left (x right) = mx + b [/ latex], ה- ב מתנהג כמו תזוזה אנכית, להזיז את הגרף למעלה ולמטה מבלי להשפיע על שיפוע הקו. שימו לב שהוספת ערך של ב למשוואה של [לטקס] f שמאל (x ימין) = x [/ לטקס] מעביר את הגרף של f בסך הכל ב יחידות למעלה אם ב הוא חיובי |ב| יחידות למטה אם ב הוא שלילי.

          גרף זה ממחיש תזוזות אנכיות של הפונקציה [לטקס] f left (x right) = x [/ latex].

          שימוש במתיחות אנכיות או דחיסות יחד עם תזוזות אנכיות היא דרך נוספת להתבונן בזיהוי סוגים שונים של פונקציות לינאריות. למרות שזו אולי לא הדרך הקלה ביותר לשרטט פונקציה מסוג זה, עדיין חשוב לתרגל כל שיטה.

          כיצד: בהתחשב במשוואה של פונקציה לינארית, השתמש בתמורות לשרטט את הפונקציה הליניארית בצורה [לטקס] f שמאל (x ימין) = mx + b [/ לטקס].

          1. תרשים [לטקס] f left (x right) = x [/ latex].
          2. מתיחה אנכית או דחיסה של הגרף לפי גורם M.
          3. הסט את הגרף למעלה או למטה ב יחידות.

          דוגמה: גרפים באמצעות טרנספורמציות

          גרף [לטקס] f left (x right) = frac <1> <2> x - 3 [/ latex] באמצעות טרנספורמציות.

          המשוואה לפונקציה מראה ש [לטקס] m = frac <1> <2> [/ לטקס] כך שפונקציית הזהות נדחסת אנכית על ידי [לטקס] frac <1> <2> [/ לטקס]. המשוואה לפונקציה מראה גם כי [לטקס] b = -3 [/ לטקס], ולכן פונקציית הזהות מוסטת אנכית למטה ל -3 יחידות.

          ראשית, גרף את פונקציית הזהות והראה את הדחיסה האנכית.

          הפונקציה [לטקס] y = x [/ לטקס] דחוסה על ידי גורם של [לטקס] frac <1> <2> [/ לטקס].

          לאחר מכן, הראה את השינוי האנכי.

          הפונקציה [לטקס] y = frac <1> <2> x [/ לטקס] הוסטה למטה ל -3 יחידות.

          נסה זאת

          גרף [לטקס] f left (x right) = 4 + 2x [/ latex], בעזרת טרנספורמציות.

          לדוגמא: רישום באמצעות טרנספורמציות, האם היינו יכולים לשרטט את הגרף על ידי היפוך סדר הטרנספורמציות?

          לא. סדר התמורות עוקב אחר סדר הפעולות. כאשר מעריכים את הפונקציה בקלט נתון, הפלט המקביל מחושב לפי סדר הפעולות. זו הסיבה שביצענו תחילה את הדחיסה. לדוגמא, בעקבות סדר הפעולות, הקלט יהיה 2.


          פונקציות שהוגדרו Piecewise

          פונקציה חלקית פונקציה שההגדרה שלה משתנה בהתאם לערכים בתחום. , או פונקציה מפוצלת מונח המשמש כאשר מתייחס לפונקציה חלקית. , היא פונקציה שההגדרה שלה משתנה בהתאם לערך בתחום. לדוגמא, אנו יכולים לכתוב את פונקציית הערך המוחלט f (x) = | x | כפונקציה חלקית:

          במקרה זה, ההגדרה המשמשת תלויה בסימן ה- איקס-ערך. אם ה איקסהערך חיובי, x ≥ 0, ואז הפונקציה מוגדרת על ידי f (x) = x. ואם ה איקס-ערך שלילי, x & lt 0, ואז הפונקציה מוגדרת על ידי f (x) = - x.

          להלן הגרף של שתי החלקים באותו מישור קואורדינטות מלבני:

          דוגמה 1

          במקרה זה, אנו משרטטים את פונקציית הריבוע על פני שלילית איקס-ערכים ושורש הריבוע מתפקדים על פני חיובי איקס-ערכים.

          שימו לב לנקודה הפתוחה המשמשת במקור לפונקציית הריבוע ולנקודה הסגורה המשמשת לפונקציית השורש הריבועי. זה נקבע על ידי האי-שוויון המגדיר את תחום כל חלק מהפונקציה. הפונקציה כולה מורכבת מכל חלק שמופיע בתרשים באותו מישור קואורדינטות.

          בעת ההערכה, הערך בתחום קובע את ההגדרה המתאימה לשימוש.

          דוגמה 2

          בהינתן הפונקציה h, מצא את h (- 5), h (0) ו- h (3).

          השתמש ב- h (t) = 7 t + 3 איפה t הוא שלילי, כפי שמצוין על ידי t & lt 0.

          h (t) = 7 t + 5 h (- 5) = 7 (- 5) + 3 = - 35 + 3 = - 32

          איפה t גדול או שווה לאפס, השתמש ב- h (t) = - 16 t 2 + 32 t.

          h (0) = - 16 (0) + 32 (0) h (3) = 16 (3) 2 + 32 (3) = 0 + 0 = - 144 + 96 = 0 = - 48

          תשובה: h (- 5) = - 32, h (0) = 0, ו- h (3) = - 48

          נסה את זה! גרף: f (x) = <2 3 x + 1 אם x & lt 0 x 2 אם x ≥ 0.

          ההגדרה של פונקציה עשויה להיות שונה במרווחי זמן מרובים בתחום.

          דוגמה 3

          במקרה זה, גרף את פונקציית הקוביה לאורך המרווח (- ∞, 0). גרף את פונקציית הזהות לאורך המרווח [0, 4]. לבסוף, גרף את הפונקציה הקבועה f (x) = 6 לאורך המרווח (4, ∞). ומכיוון ש f (x) = 6 כאשר x & gt 4, אנו משתמשים בנקודה פתוחה בנקודה (4, 6). כאשר x = 4, אנו משתמשים ב- f (x) = x ולכן (4, 4) היא נקודה בגרף כפי שמצוין בנקודה סגורה.

          הפונקציה המספר השלם הגדול ביותר הפונקציה שמקצה כל מספר ממשי איקס למספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל- איקס מסומן f (x) = [[x]]. , מסומן f (x) = [[x]], מקצה את המספר השלם הגדול ביותר קטן או שווה למספר אמיתי בתחום שלו. לדוגמה,

          f (2.7) = [[2.7]] = 2 f (π) = [[π]] = 3 f (0.23) = [[0.23]] = 0 f (- 3.5) = [[- 3.5]] = - 4

          פונקציה זו משייכת כל מספר ממשי למספר השלם הגדול ביותר שהוא פחות או שווה לו, ואין לבלבל אותו עם עיגול.

          דוגמה 4

          אם איקס הוא מספר ממשי כלשהו, ​​ואז y = [[x]] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל- איקס.

          ⋮ - 1 ≤ x & lt 0 ⇒ y = [[x]] = - 1 0 ≤ x & lt 1 ⇒ y = [[x]] = 0 1 ≤ x & lt 2 ⇒ y = [[x]] = 1 ⋮

          באמצעות זה, אנו מקבלים את הגרף הבא.

          התחום של פונקציית המספר השלם הגדול ביותר מורכב מכל המספרים האמיתיים ℝ והטווח מורכב ממכלול המספרים השלמים ℤ. פונקציה זו מכונה לעתים קרובות פונקציית הרצפה מונח המשמש כאשר מתייחס לפונקציה השלמה הגדולה ביותר. ויש לו יישומים רבים במדעי המחשב.


          פונקציות ומשוואות ליניאריות

          אם אנו במשוואה הבאה y = x + 7 מקצים ערך ל- x, המשוואה תיתן לנו ערך ל- y.

          אם היינו מקצים ערך אחר ל- x, המשוואה הייתה נותנת לנו ערך נוסף עבור y. במקום זאת היינו יכולים להקצות ערך ל- y ולפתור את המשוואה כדי למצוא את הערך התואם של x.

          במשוואה שלנו y = x + 7, יש לנו שני משתנים, x ו- y. המשתנה שאנו מקצים לו את הערך שאנו מכנים המשתנה הבלתי תלוי, והמשתנה האחר הוא המשתנה התלוי, מכיוון שערכו תלוי במשתנה העצמאי. בדוגמה שלנו לעיל, x הוא המשתנה הבלתי תלוי ו- y הוא המשתנה התלוי.

          פונקציה היא משוואה שיש לה תשובה אחת בלבד עבור y לכל x. פונקציה מקצה פלט אחד בדיוק לכל קלט מסוג מוגדר.

          נהוג לקרוא לפונקציה f (x) או g (x) במקום y. פירוש f (2) שעלינו למצוא את ערך הפונקציה שלנו כאשר x שווה ל -2.

          פונקציה היא לינארית אם ניתן להגדיר אותה על ידי

          f (x) הוא ערך הפונקציה.
          M הוא שיפוע הקו.
          ב הוא ערך הפונקציה כאשר x שווה לאפס או לתאם y של הנקודה בה קו עובר את ציר y במישור הקואורדינטות.
          איקס הוא הערך של הקואורדינטה x.

          צורה זו מכונה צורת יירוט השיפוע. אם m, השיפוע, הוא שלילי ערך הפונקציות פוחת עם הגדלת x וההפך אם יש לנו שיפוע חיובי.

          משוואה כמו y = x + 7 הוא ליניארי ויש מספר אינסופי של זוגות מסודרים של x ו- y העונים על המשוואה.

          השיפוע, m, הוא כאן 1 ו- b (יירוט y) שלנו הוא 7.
          השיפוע של קו העובר בנקודות (x1, y1) ו- (x2, y2) ניתן על ידי

          אם שתי משוואות ליניאריות ניתנות לאותו שיפוע זה אומר שהן מקבילות ואם התוצר של שני שיפועים m1 * m2 = -1 אומרים ששתי המשוואות הליניאריות מאונכות.


          צפו בסרטון: פונקציה קווית - שרטוט (דֵצֶמבֶּר 2021).