מאמרים

3: אקספוננטים ולוגריתמים - מתמטיקה


בפרק זה נבחן מושגים שקשורים ליחסים אקספוננציאליים, לוגריתמיים ולוגיסטיים. בחלק הראשון נבחן כיצד לגשת לבעיות אלה מנקודת מבט גרפית. בחלקים הבאים נבחן את השיטות הדרושות לעבודה עם בעיות אלו באופן אלגברי.


3: אקספוננטים ולוגריתמים - מתמטיקה

מוקדם יותר גילינו שמאז אולימפיה, וושינגטון אוכלוסייה של 245 אלף תושבים בשנת 2008 וגדלה ב -3% לשנה, ניתן לדגם את האוכלוסייה לפי המשוואה.

באמצעות משוואה זו הצלחנו לחזות את האוכלוסייה בעתיד.

נניח שרצינו לדעת מתי אוכלוסיית אולימפיה תגיע ל -400 אלף. מכיוון שאנחנו מחפשים את השנה נ כאשר האוכלוסייה תהיה 400 אלף, נצטרך לפתור את המשוואה

חלוקת שני הצדדים ב- 245,000 נותנת

גישה אחת לבעיה זו תהיה יצירת טבלת ערכים, או שימוש בטכנולוגיה לציור גרף להערכת הפיתרון.

מהגרף, אנו יכולים להעריך כי הפיתרון יהיה בסביבות 16 עד 17 שנים לאחר שנת 2008 (2024 עד 2025). זה די טוב, אבל נרצה מאוד שיהיה לנו כלי אלגברי לענות על שאלה זו. לשם כך עלינו להציג פונקציה חדשה שתבטל אקספוננציאלים, בדומה לאופן שבו שורש ריבוע מבטל ריבוע. עבור אקספוננציאלים, הפונקציה הדרושה לנו נקראת לוגריתם. זהו ההפך של האקספוננציאלי, כלומר מבטל את האקספוננציאלי. בעוד שיש משפחה שלמה של לוגריתמים עם בסיסים שונים, אנו נתמקד ביומן המשותף, המבוסס על האקספוננציאלי 10 איקס .

אסטרטגיית לימוד

עבוד על הדוגמאות הבאות המראות כיצד להשתמש בלוגריתם כדי & # 8220undo & # 8221 מעריך באמצעות עיפרון ונייר מספר פעמים עד שתתחיל להיות מסוגל לראות את התבנית שלו בצורה די ברורה. החזרה על כתיבת זה בכוונה תוך אמירה בקול על הפעולה שאתה מבצע עשויה לעזור לך להשיג את הרעיון ואז לשמור עליו.

לוגריתם נפוץ

הלוגריתם הנפוץ, היומן הכתוב (איקס), מבטל את האקספוננציאלי 10 איקס

משמעות הדבר היא היומן (10 איקס ) = איקס, וכמו כן 10 יומן (איקס) = איקס

פירוש הדבר גם האמירה 10 א = ב שווה ערך ליומן המשפט (ב) = א

עֵץ(איקס) נקרא "יומן של איקס", ופירושו" הלוגריתם של הערך איקס”. חשוב לציין שזהו לֹא כפל - היומן לא אומר שום דבר בפני עצמו, בדיוק כמו ש- √ לא אומר שום דבר בפני עצמו יש להחיל אותו על מספר.

מעריכים ולוגריתמים: קצת עזרה

ראית שהלוגריתם הנפוץ, היומן הכתוב (איקס), מבטל את האקספוננציאלי 10 איקס .

זה עובד מכיוון שללוגריתם הנפוץ יש בסיס של 10, בדיוק כמו הביטוי האקספוננציאלי 10 x. כלומר, יומן (x) מבטל 10 x מכיוון שיומן (x) הוא המספר שאליו אנו מגדילים 10 כדי להשיג את המספר x.

בדוגמה שלמטה, חלק (א) מבקש ממך להעריך את היומן (100).

log (100) = log (10 2), שנותן לנו את ההצהרה x = 2 מכיוון ש -2 הוא המספר אליו אנו מגדלים 10 כדי להשיג 100.

חלק (ד) מבקש ממך להעריך יומן (1/100). ראשית, נסה לשכתב 1/100 כשבסיס 10 הועלה למספר.


מבוא לפונקציות לוגריתמיות



בשיעור זה נבחן מהי לוגריתמים והקשר בין מעריכים לוגריתמים.

ניתן להחשיב לוגריתמים כהפוך של מעריכים (או מדדים).

זכרו: הלוגריתם הוא המעריך.

התרשים הבא מראה את הקשר בין לוגריתם למעריך. גלול למטה בדף לקבלת דוגמאות ופתרונות נוספים עבור לוגריתמים ומעריצים.

המירו את הטופס האקספוננציאלי הבא לצורה הלוגריתמית:

א) 4 2 = 16
2 = יומן4 16 (היומן הוא המעריך)

המר את הצורה הלוגריתמית הבאה לטופס אקספוננציאלי


שימו לב לדברים הבאים:

  • מאז א 1 = א, יומןאא = 1
  • מאז א 0 = 1, יומןא1 = 0
  • עֵץא 0 אינו מוגדר
  • לוגריתמים של מספרים שליליים אינם מוגדרים.
  • בסיס הלוגריתמים יכול להיות כל מספר חיובי למעט 1.
  • לוגריתמים לבסיס 10 מכונים לוגריתמים נפוצים ומיוצגים על ידי לוג10 או יומן.
  • לוגריתמים לבסיס e מכונים לוגריתמים טבעיים ומיוצגים על ידי לוגה או ln.

נסה את מחשבון Mathway בחינם ופותר הבעיות שלמטה כדי לתרגל נושאים שונים במתמטיקה. נסה את הדוגמאות הנתונות, או הקלד את הבעיה שלך ובדוק את התשובה שלך באמצעות ההסברים שלב אחר שלב.

אנו מקדמים בברכה את המשוב, ההערות והשאלות שלך לגבי אתר או עמוד זה. אנא שלח את המשוב או השאלות שלך באמצעות דף המשוב שלנו.


3. חוקי הלוגריתם

מאז לוֹגָרִיתְם הוא פשוט מַעֲרִיך שנרשם רק על השורה, אנו מצפים שחוקי הלוגריתם יפעלו כמו הכללים למעריכים, ולמרבה המזל הם כן.

מעריציםלוגריתמים
`b ^ m & times b ^ n =" b ^ (m + n) ` 'log_b xy =' log_b x + log_b y '
'b ^ m וחלק b ^ n =' b ^ (m-n) ' 'log_b (x / y) =' log_b x & מינוס log_b y '
`(b ^ m) ^ n = b ^ (mn)` "log_b (x ^ n) =" n log_b x "
`b ^ 1 = b` 'log_b (b) = 1'
'b ^ 0 = 1' 'log_b (1) = 0'

הערה: במחשבונים שלנו, "יומן" (ללא בסיס כלשהו) מתייחס ל"בסיס יומן 10 ". אז, למשל & יומן quot 7 & quot פירושו & quot יומן107 & quot.

דוגמאות

כסכום של 2 לוגריתמים.

באמצעות החוק הראשון שניתן לעיל, תשובתנו היא

הערה 1: יש לזה אותה משמעות כמו '10 ^ 7 xx 10 ^ x = 10 ^ (7 + x)'

פתק 2: שאלה זו היא לֹא זהה ל 'log_7 x', שפירושו & quotlog של איקס לבסיס '7' & quot, שהוא שונה לגמרי.

2. הראה זאת באמצעות המחשבון שלך

אני משתמש במספרים הפעם כדי שתוכל לשכנע את עצמך שחוק היומן עובד.

הראינו שחוק הלוגריתם השני לעיל פועל כדוגמת המספר שלנו.

3. ביטוי כמכפל של לוגריתמים: יומן איקס 5 .

באמצעות חוק הלוגריתם השלישי, יש לנו

ביטאנו אותו כמכפל של לוגריתם, וזה כבר לא כרוך במעריך.

הערה 1: כל אחד מהדברים הבאים שווה ל -1:

ההצהרות המקבילות, תוך שימוש במעריכים רגילים, הן כדלקמן:

פתק 2: כל הדברים הבאים שווים ל- '0':

האמירות המקבילות בצורה מעריכית הן:

תרגילים

1. ביטוי כסכום, הפרש או כמכפל של לוגריתמים:

כלוגריתם של כמות אחת.

אנו מיישמים את חוקי הלוגריתם:

הערה: הלוגריתם לבסיס ה הוא לוגריתם חשוב מאוד. תוכלו לפגוש אותו תחילה ב Natural Logs (Base ה) ויראה אותו לאורך פרקי החשבון בהמשך.


דוגמאות פתורות במתמטיקה של האוצר

אתה יכול לאמת את תשובותיך בהתאם ל: מחשבוני המתמטיקה של הכספים
לתלמידי ACT
ה- ACT הוא בחינה מתוזמנת. $ 60 $ שאלות עבור $ 60 $ דקות
זה מרמז שעליך לפתור כל שאלה בדקה אחת.
שאלות מסוימות ייקחו בדרך כלל פחות מדקה לפתרון.
בדרך כלל יידרשו יותר מדקה לפתור כמה שאלות.
המטרה היא למקסם את הזמן שלך. אתה מנצל את הזמן שנחסך באותן שאלות שפתרת בפחות מדקה, כדי לפתור את השאלות שייקחו יותר מדקה.
אז כדאי לנסות לפתור כל שאלה נכונה ו בזמן.
אז זה לא רק לפתור שאלה בצורה נכונה, אלא לפתור אותה נכון בזמן.
אנא ודא שאתה מנסה כל שאלות ה- ACT.
אין עונש "שלילי" לכל תשובה שגויה.

לתלמידי JAMB, NZQA ו- CMAT
מחשבונים אינם מורשים. לכן, השאלות נפתרות באופן שאינו מצריך מחשבון.

לתלמידי WASSCE
כל שאלה שכותרתה WASCCE היא שאלה למתמטיקה כללית של WASCCE
כל שאלה שכותרתה WASSCE: FM היא שאלה למתמטיקה נוספת של WASSCE / מתמטיקה אלקטיבית

לסטודנטים של GCSE
כל עבודות מוצגות כמספקות (ובעצם עולות) על המינימום להענקת ציוני שיטה.
מחשבונים מותרים לשאלות מסוימות. לא ניתן להשתמש במחשבונים בשאלות מסוימות.

לתלמידי NSC
לשאלות:
כל רווח הכלול במספר מציין פסיק המשמש להפרדת ספרות. מפריד מכפלות של שלוש ספרות מאחור.
כל פסיק הכלול במספר מציין נקודה עשרונית.
לפתרונות:
משתמשים בעשרונים באופן הולם ולא בפסיקים
פסיקים משמשים להפרדת ספרות כראוי.

לפתור את כל בעיות המילים.
השתמש בשתי שיטות לפחות לפי העניין.
בדוק את הפתרונות שלך לפי העניין.
הראה הכל עבודה.
מעגל את כל התשובות לשני מקומות עשרוניים.

(1.) הוריה של אסתר הפקידו סכום של $ 750 $ $ בחשבון מכללה ששולם מראש.
כמה שווה הכסף הזה לאחר תקופה של שש עשרה שנה אם הוא מושקע בסכום של $ 3 \% $ המורכב מדי שנה?

(2.) נחום השקיע $ 10,000 $ $ בבנק שמשלם 13.7 $ \% $ מורכב ברציפות.
(א.) כמה כסף יהיה לו אחרי 2 $ $ שנים?
(ב.) אם בנק אחר ישלם לנחום 14 $ \% $ בצירוף רבעוני, כמה יהיה לו אחרי 2 $ $ שנים?

(3.) למתיו יש $ 1000 $ להשקיע בסכום של 6 $ \% $ לשנה המורכב רבעוני.
(א.) כמה זמן ייקח לפני שיהיו לו 1450 $ $?
(ב.) אם ההרכב הוא רציף, כמה זמן זה יהיה?

(4.) חברת הלוואות מעוניינת להציע תקליטור (תעודת פיקדון) עם תעריף חברה חודשי עם APY של $ 7.5 \% $.
באיזה שיעור נומינלי שנתי מורכב חודשי עליהם להשתמש?

(5.) עזרא השקיע $ 2000 $ בריבית בריבית $ k $ שהורכבה ללא הרף.
הקרן הסתכמה ב- $ 2504.65 $ ב- $ 5 שנים.
(א.) חשב את הריבית.
(ב.) חשב את היתרה לאחר 10 $ $ שנים.
(ג.) לאחר כמה זמן תכפיל את הקרן?
סיבוב עד למאה הקרובה ביותר לפי הצורך.

(6.) מלאכי השקיע סכום של $ 800 $ לחשבון שמשלם ריבית בשיעור של 2.9 $ \% $ לשנה, מורכב באופן רציף.
כמה כסף יהיה בחשבון לאחר 8 $ $ שנים?
חשב את זמן ההכפלה.
סיבוב עד למאה הקרובה ביותר לפי הצורך.

$ קו תחתון [3ex] P = $ 800 [3ex] t = 8 : שנים [3ex] r = 2.9 \% = dfrac <2.9> <100> = 0.029 [5ex] A = Pe ^ [5ex] A = 800 * e ^ <0.029 * 8> [5ex] = 800 * e ^ <0.232> [5ex] = 800 * 1.261119729 [2ex] = 1008.895783 [3ex] A approx $ 1008.90 [3ex] $ חישוב זמן ההכפלה פירושו "מתי" יוכפל הקרן?
"כמה זמן" ייקח להכפלת הכסף?


מה לגבי החלק השברתי של לוגריתם בינארי?

לתת נ להיות החלק השלם של הלוגריתם הבינארי של איקסואז ניתן לחשב חלק חלקי מהלוגריתם כך:

לכן, ניתן לחשב את חישוב החלק השבר של לוגריתם בינארי לחישוב הלוגריתם הבינארי של מספר שבין 1 (כולל) ל -2 (בלעדי). על מנת לבצע חישוב זה נשתמש בשני הכללים הבאים:

הנה הקוד שנכתב כאילו המוצקות תתמוך באופן מקורי במספרים חלקיים:

בכל איטרציה, אנו מיישמים את הכלל הקודם: ריבוע הערך של x ומחצית את ערך הדלתא. אם בשלב מסוים ערך של x הופך להיות גדול או שווה ל -2, אנו מחייבים את הכלל האחרון: הוסף דלתא לתוצאה וחצי את ערך ה- x. אנו חוזרים על הלולאה עד שהדלתא יורדת מתחת לדיוק הרצוי מכיוון שהמשך החישוב לא יוסיף שום דבר משמעותי לתוצאה.

למרבה הצער, סולידיות אינה תומכת בשברים באופן מקורי, ולכן הקוד האמיתי ייראה בערך כך:

כאשר ONE, TWO, add, mul, div ו- gte הם קבועים ופונקציות המדמות עליהם מספר כלשהו של שברים וחשבון עליהם למוצקות.

למרבה המזל, ספריות ABDK מוכנות לשימוש ביישומי לוגריתם בינאריים עבור 64.64 סיביות של נקודות נקיות צפות בינאריות עם נקודה קבועה של נקודה קבועה.

עכשיו, כשאנחנו יודעים לחשב לוגריתם בינארי,


מעריצים בעולם האמיתי

מעריצים, מספרי אינדקסים, מעצמות ומדדים משמשים בחלקים רבים של העולם הטכנולוגי המודרני שלנו.

משתמשים במעריכים בפיזיקה של משחקי מחשב, סולמות מדידה של pH וריכטר, מדע, הנדסה, כלכלה, חשבונאות, מימון, ותחומים רבים אחרים.

צמיחה מעריכית היא היבט חשוב ביותר בתחום האוצר, דמוגרפיה, ביולוגיה, כלכלה, משאבים, אלקטרוניקה ותחומים רבים אחרים.

דעיכה מעריכית קשורה לאור, קול, גופי ספורט, כימיקלים מסוכנים, ופסולת רדיואקטיבית.

אנשים המשתמשים במעריצים הם כלכלנים, בנקאים, יועצים פיננסיים, מעריכי סיכונים ביטוחיים, ביולוגים, מהנדסים, מתכנתים למחשבים, כימאים, פיסיקאים, גיאוגרפים, מהנדסי קול, סטטיסטיקאים, מתמטיקאים, גיאולוגים ומקצועות רבים אחרים.

בשיעור זה אנו מראים כמה שימושים חיים אמיתיים של אקספוננטים, כמו גם את השפעתם על הבנתנו את העולם המודרני סביבנו.

מעריצים הם בסיסיים, במיוחד בבסיס 2 ובבסיס 16, כמו גם בנוסחאות פיזיקה ואלקטרוניקה העוסקות במחשוב.

חלה עלייה אקספוננציאלית במהירות ובעוצמתם של מחשבים בשנים האחרונות, ובסביבות 2030 צפוי כי כוח המחשוב יתאים לזה של המוח האנושי.

מעריצים חשובים ביותר במכירות ושיווק מודרני מבוסס אינטרנט,

מעריצים חשובים בהשקעות ובפיננסים.

ריבית מורכבת פועלת גם כנגד אנשים עם חוב בכרטיס אשראי שהם לא משלמים, מכיוון שהחוב גדל מהר יותר ויותר בכל תקופת חיוב ויכול לצאת במהירות ללא שליטה.

מעריצים הם הבסיס של & # 8220 דמוגרפיה & # 8221 (גידול האוכלוסייה)

האוכלוסייה העולמית גדלה בקצב יוצא דופן, במיוחד באזורים המשתוללים באפריקה, הודו וסין.


עם גידול מסיבי באוכלוסייה מגיע שימוש מאסיבי בדלקים מאובנים לתעשייה, חימום, חשמל ותחבורה.

במהלך השנים האחרונות חלו עליות אקספוננציאליות אדירות בשימוש בטלפון הנייד ובחדירת השוק.

חוב אשראי צרכני גדל בשנים האחרונות לרמות גבוהות.

מעריצים הם גם חלק מטכנולוגיית המזון והמיקרוביולוגיה.

מחלות וירוסים, (כמו גם וירוסי דוא"ל ומחשב רבים), יכולות להתפשט בקצב הולך וגובר ולגרום לאזורים נגועים נפוצים.

זה קורה באותו אופן שבו שיווק ויראלי מסתעף בענפים רחבים יותר ויותר של יותר ויותר אנשים שמעבירים משהו ליותר ויותר אנשים אחרים.

בהתפוצצויות אנו מקבלים תפוקה אנרגטית וכוחית המוגברת באופן לא מבוטל תוך פרק זמן קצר מאוד.

דמיינו זאת כגרף אקספוננציאלי תלול מאוד, בהשוואה להתאמה בוערת המוציאה אנרגיה בגרף ישר ישר למדי.

המצבים בהם שקלנו עד כה כוללים & # 8220 צמיחה אקספוננציאלית & # 8221.

המשוואות לגרפים של מצבים אלה מכילות אקספוננטים, וכתוצאה מכך הגרף מתחיל לאט, אך אז גדל במהירות רבה.

לְמָשָׁל. חשוב על מספרים מרובעים וכיצד הם הולכים וגדלים במהירות:

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 132 וכו '

זה לוקח לנו רק תשעה מספרים מרובעים כדי להגיע ל 100.

מצבי צמיחה אקספוננציאליים בתרשים נראים כמו התרשים שלהלן.

ההפך מ & # 8220 צמיחה אקספוננציאלית & # 8221, הוא כאשר אנו מיישמים אקספוננטים על שברים שמביאים לריקבון & # 8220 אקספוננציאלי & # 8221.

שימוש בערכי כוח שליליים מביא לשברים, וכאשר לשברים אלה חלים עליהם אקספוננטים אנו מקבלים & # 8220 דעיכה & # 8221.

בתהליך & # 8220Decay & # 8221 הסכום המעורב יורד די מהר בהתחלה, אך אז ההורדה נעשית איטית ואיטית יותר.

גרף ריקבון מעריכי טיפוסי נראה כך:

הכנת גרף ריקבון אקספוננציאלי


מקור תמונה: http://teachers.egfi-k12.org

דרך מהנה ליצור גרף ריקבון אקספוננציאלי היא לקחת חבילת M & # 038M או Skittles ולהמשיך לשפוך אותם מכוס, אך בכל פעם מוציאים סוכריות שנוחתות כשצד האות מראה.

זה אמור לייצר את הגרף הנדרש.

יש קבוצה נהדרת של הוראות כיצד לעשות זאת בקישור הבא:

ריקבון אקספוננציאלי ודוגמאות לחיים אמיתיים

כמה דוגמאות של ריקבון אקספוננציאלי בעולם האמיתי הן כדלקמן.

ריקבון אקספוננציאלי וחצי חיים

לחומרים מזיקים רבים, במיוחד לפסולת רדיואקטיבית, לוקח זמן רב להתפרק לרמות בטוחות בסביבה.

הסיבה לכך היא כי חומרים אלה עוברים ריקבון אקספוננציאלי, ואפילו כמות קטנה של החומר שעוד נותר עלולה להזיק.

סולם ריכטר משמש למדידת מידת עוצמתן של רעידות אדמה.

האנרגיה האמיתית מכל רעידה היא כוח של 10, אך בסולם אנו פשוט לוקחים את ערך המדד של 1, 2, 3, 4 וכו 'במקום את הכמות המעריכה המלאה.

משמעות הדבר היא כי רעידת אדמה בסולם 6 של ריכטר למעשה חזקה פי 10 מרעידת ריכטר 5. (למשל 1000000 מול 100000).

כמו כן, רעידת אדמה בסולם 7 של ריכטר חזקה למעשה פי 100 מרעידת ריכטר 5. (למשל 10000000 לעומת 100000).

סולם ה- pH למדידת חומציות החומרים נוצר גם על ידי לקיחת ערכי הכוח מכוחות מדודים של 10 ערכי ריכוז חומצה.

מעריכים וסימון מדעי

מספרים גדולים מאוד, כמו המרחק בין כוכבי הלכת, או אוכלוסיית המדינות, באים לידי ביטוי באמצעות כוחות של 10 במתכונת הנקראת & # 8220Scientific Notation & # 8221.

סימון מדעי משמש גם לביטוי ערכים עשרוניים קטנים מאוד כמו גודל מולקולות נגיף השפעת, או המרחק בין אטומים במבנה גביש.

מצגת מקוונת על מעריכים בעולם האמיתי

מצגת מקוונת של שיעור זה זמינה ב- SlideShare בקישור הבא:

קליפ על אקספוננטים

הקליפ הבא שכולו Exponents הוא אולי סרטון המתמטיקה המצליח ביותר שהועלה אי פעם ליוטיוב.

נכון לעכשיו היו לו למעלה מ 850,000 צפיות ביוטיוב והיא הפקה מדהימה למדי!

ראוי מאוד לצפייה על ידי מי שלומד מדדים ומעריכים.

אם נהנית משיעור זה, מדוע לא לקבל מנוי חינם לאתר שלנו.
לאחר מכן תוכל לקבל התראות על דפים חדשים ישירות לכתובת הדוא"ל שלך.

עבור לאזור המנוי בסרגל הצד הימני, מלא את כתובת הדוא"ל שלך ואז לחץ על כפתור & # 8220 הרשמה & # 8221.

כדי לברר בדיוק כיצד עובד מנוי בחינם, לחץ על הקישור הבא:

אם ברצונך להגיש רעיון למאמר, או להיות כותב אורח באתרנו, אנא שלח לנו דוא"ל לכתובת hotmail המוצגת בסרגל הימני של דף זה.

כל יום Passy & Worlds מספק למאות אנשים שיעורי מתמטיקה ללא תשלום.

עזור לנו לשמור על שירות זה בחינם ולהמשיך לצמוח.

תרום כל סכום מ- $ 2 ומעלה באמצעות PayPal על ידי לחיצה על תמונת PayPal למטה. תודה!

PayPal אכן מקבלת כרטיסי אשראי, אך יהיה עליך לספק כתובת דוא"ל וסיסמה כדי ש- PayPal תוכל ליצור עבורך חשבון PayPal לצורך עיבוד העסקה. פעולה זו לא תחויב בדמי עיבוד מכיוון ש- PayPal מקזזת עמלה מהתרומה שלך לפני שהיא תגיע לעולם Passy & # 8217 s.


מאפייני לוגריתמים

אלה נקראים לפעמים זהויות לוגריתמיות או חוקים לוגריתמיים.

כלל המוצר:

יומן המוצר שווה לסכום היומנים.

כלל המנה:

יומן המנה (כלומר יחס) הוא ההבדל בין יומן המונה ליומן המכנה.

כלל הכוח:

יומן המספר המועלה לכוח הוא תוצר הכוח והמספר.

שינוי בסיס:

זהות זו שימושית אם אתה צריך לחשב יומן לבסיס שאינו 10. מחשבונים רבים מכילים רק & quot & quot & quot; & quot; quot & quot; quot & quot; מקשי & quot; עבור יומן לבסיס 10; ה בהתאמה.


המספר $ 9 $ הוא כמות והוא יכול לבוא לידי ביטוי בצורה אקספוננציאלית על ידי האקספוננציה.

$ 9 , = , 3 פעמים 3 $
$ מרמז על 9 , = , 3 ^ 2 $

במקרה זה, $ 3 $ הוא כמות ו- $ 2 $ הוא מספר גורמי הכפל שלה. הפעולה ההפוכה של $ 9 , = , 3 ^ 2 $ נכתבת בצורה לוגריתמית.

המערכת הלוגריתמית מייצגת שמספר הגורמים המכפילים הוא $ 2 $ כאשר הכמות $ 9 $ נכתבת כגורמים מכפילים על בסיס המספר $ 3 $.

הקשר המתמטי ההפוך ההדדי בין מערכות אקספוננציאליות למערכות לוגריתמיות נכתב במתמטיקה כדלקמן.

צורה אלגברית

$ y $ הוא כמות. זה כתוב במונחים של $ b $ והמספר הכולל של גורמי הכפל הוא $ x $. הקשר בין שלושה מהם נכתב בצורה מתמטית לפי אקספוננציאציה.

זה כתוב בצורה לוגריתמית באופן הבא כדי למצוא את המספר הכולל של גורמי הכפל על ידי ביטוי y כגורמי הכפל של b ..

הקשר בין מערכות לוגריתמיות למערכות אקספוננציאליות כתוב בצורה אלגברית כדלקמן.


3: אקספוננטים ולוגריתמים - מתמטיקה

לרוב משתמשים בכימיה בשני סוגים של לוגריתמים: לוגריתמים נפוצים (או בריגיאניים) ולוגריתמים טבעיים (או נאפיריאנים). הכוח אליו צריך להעלות בסיס של 10 כדי להשיג מספר נקרא הלוגריתם (לוג) המשותף של המספר. הכוח אליו צריך להעלות את הבסיס e (e = 2.718281828.) כדי לקבל מספר נקרא הלוגריתם הטבעי (ln) של המספר.

במילים פשוטות יותר, המורה שלי למתמטיקה בכיתה ח 'תמיד אמרה לי: יומנים הם גורמים !! למה היא התכוונה בזה?

    באמצעות יומן10 ("היכנס לבסיס 10"):
    עֵץ10100 = 2 שווה ערך ל- 10 2 = 100
    כאשר 10 הוא הבסיס, 2 הוא הלוגריתם (כלומר, המעריך או הכוח) ו- 100 הוא המספר.

שאר מצגת מיני זו תתרכז בלוגריתמים לבסיס 10 (או לוגים). שימוש אחד ביומני כימיה כולל pH, כאשר pH = -log10 של ריכוז יון המימן.

להלן מספר דוגמאות פשוטות ליומנים.

מספרביטוי אקספוננציאלילוֹגָרִיתְם
100010 3 3
10010 2 2
1010 1 1
110 0 0
1/10 = 0.110 - 1 -1
1/100 = 0.0110 - 2 -2
1/1000 = 0.00110 - 3 -3

    דוגמה 1: יומן 5.43 x 10 10 = 10.73479983. (הרבה יותר מדי נתונים משמעותיים)

אז בואו נסתכל על הלוגריתם מקרוב ונבין כיצד לקבוע את המספר הנכון של דמויות משמעותיות שיהיו לו.

    דוגמה 1: יומן 5.43 x 10 10 = 10.735
    למספר יש 3 דמויות משמעותיות, אך היומן שלו מגיע בסופו של דבר ל -5 דמויות משמעותיות, שכן במנטיסה יש 3 והמאפיין יש 2.

    דוגמה 4: מהו ה- pH של תמיסה מימית כאשר ריכוז יון המימן הוא 5.0 x 10 - 4 M?

מציאת אנטילוגריתמים (נקרא גם לוגריתם הפוך)

  1. הזן את המספר,
  2. לחץ על כפתור ההפוך (inv) או shift, ואז
  3. לחץ על כפתור יומן (או ln). זה יכול להיות שכותרתו גם כפתור 10 x (או e x).

    דוגמה 5: יומן x = 4.203 אז, x = יומן הפוך של 4.203 = 15958.79147. (יותר מדי נתונים משמעותיים)
    יש שלוש דמויות משמעותיות במנטיסה של היומן, כך שלמספר יש 3 נתונים משמעותיים. התשובה למספר הנכון של הנתונים המשמעותיים היא 1.60 x 10 4.

    דוגמה 8: מהו ריכוז ריכוז יון המימן בתמיסה מימית עם pH = 13.22?

חישובים העוסקים בלוגריתמים

מכיוון שלוגריתמים הם אקספוננטים, פעולות מתמטיות המעורבות בהם עוקבות אחר אותם כללים כמו של אקספוננטים.


צפו בסרטון: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות - 3 - פונקציות מעריכיות (דֵצֶמבֶּר 2021).